高二历届“希望杯”全国数学邀请赛第一试试题2样稿.doc

第一届“期望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1990年3月18日 早晨8：30—10：00
一、选择题
1、等差数列第p项是1990，第1990项是p，那么第p + q（q ≥ 1991）项（ ）
（A）是正数 （B）是负数 （C）是零 （D）符号不能确定
2、设S k =++ … +，则（ ）
（A）S k + 1 = S k + （B）S k + 1 = S k ++
（C）S k + 1 = S k +– （D）S k + 1 = S k –+
3、函数y =（ ）
（A）有最小值没有最大值 （B）有最大值没有最小值
（C）有最小值也有最大值 （D）没有最小值也没有最大值
4、a，b∈R，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0（ ）
（A）充要条件 （B）充足无须要条件 （C）必需不充足条件 （D）不充足也无须要条件
5、α ≠( k∈ Z )，那么sec α和sin 2 α tan符号（指正负号）（ ）
（A）总是相同 （B）总是相异
（C）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号
（D）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号
6、正四面体内切球体积是V，则它外接球体积是（ ）
（A）8V （B）27V （C）64V （D）4V
7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）
（A）16部分 （B）14部分 （C）15部分 （D）20部分
8、设a = arcsin ( sin)，b = arccos ( –)，c = arcsin ( –)，则（ ）
（A）a > b > c （B）b > a > c （C）c > a > b （D）b > c > a
9、方程arccot x + arcsin x = π实数根个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
10、在四个数arctan，arccos，arcsin，2 arctan (+)中，和arcsin数值相等个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
二、填空题
11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =解集是 。
12、和直线x + 2 y – 3 = 0相关直线x = a（a为常数）对称直线方程是 。
13、若平面内动点P到定点F( 1，0 )距离比点P到y轴距离多1，则动点P轨迹方程是 。
14、函数y = 2 – 3 ( x∈[ 1，2 ] )反函数为 y = f ( x )，则f [ f ( – 1 ) ] = 。
15、A，B，C是三角形三个内角，那么cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 4 cos A cos B cos C = 。
16、坐标平面内有两个圆x 2 + y 2 = 16和x 2 + y 2 – 6 x + 8 y + 24 = 0，这两个圆内公切线方程是 。
17、棱长为1正方体ABCD – A1B1C1D1中，P在线段AC内，CP = 1，则直线AD和C1P所成角弧度值是 。
18、不等式≥ x + t解集是空集，则实数t取值范围（用区间形式）是 。
19、数列{ a n }中，若a 1 = – 1，a 2 = 2，a n + 1 – a n – a n + 2 = 0，则数列前1990项和等于 。
20、若x，y > 0，且x + 2 y = 1，则( x +) ( y +)最小值是 。
答案：一、B、C、C、B、A、B、C、B、A、D；
二、11、{ x | x =+ k π且k∈Z }；12、x – 2 y – 2 a + 3 = 0；13、y 2 = 2 x – 1；14、1；15、– 1；16、3 x – 4 y – 20 = 0；17、；18、( – ∞，1 –
)