高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版知识精讲.doc样稿.doc

高一数学求函数定义域和值域常见方法北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
求函数定义域和值域常见方法
求函数解析式，求函数定义域，求函数值域，求函数最值
二. 学****目标
1、深入了解函数定义域和值域概念；
2、会应用代换、方程思想求简单函数解析式；
3、会求基础初等函数、简单复合函数及含参变量函数定义域、值域和最值；
4、会将求函数值域问题化归为求函数最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中作用；
5、会求实际问题中函数解析式、定义域、值域和最值问题；
6、会用集合、区间或不等式表示函数定义域和值域。
三. 知识关键点
（一）求函数解析式
1、函数解析式表示函数和自变量之间一个对应关系，是函数和自变量建立联络一座桥梁，其通常形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式通常要写出定义域，但若定义域和由解析式所确定自变量范围一致时，能够不标出定义域；通常地，我们能够在求解函数解析式过程中确保恒等变形；
3、求函数解析式通常方法有：
（1）直接法：依据题给条件，合理设置变量，寻求或结构变量之间等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数类型，能够设出其通常形式，然后代值求出参数值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］表示式，求f（x）表示式时能够令t＝g（x），以换元法解之；
（4）结构方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）一个方程，则能够x代换－x（或1/x），结构出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）表示式；
（5）依据实际问题求函数解析式：设定或选择自变量和因变量后，寻求或结构它们之间等量关系，列出等式，解出y表示式；要注意，此时函数定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量取值集合，通常要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量范围，最终将求定义域问题化归为解不等式组问题；
3、如前所述，实际问题中函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量通常取非负数，等等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］定义域求解，应先由y＝f（u）求出u范围，即g（x）范围，再从中解出x范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）定义域I2，I1和I2交集即为复合函数定义域；
5、分段函数定义域是各个区间并集；
6、含有参数函数定义域求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不一样范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得各个集合求并集，作为该函数定义域；
（三）求函数值域
1、函数值域即为函数值集合，通常由定义域和对应法则确定，常见集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数值域，若记该函数值域为C，则C是B子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数值域是各个区间上值域并集；
4、对含参数函数值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数不一样范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求值域求并集；
6、求函数值域方法十分丰富，应注意总结；
（四）求函数最值
1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；
2、求函数最值问题能够化归为求函数值域问题；
3、闭区间连续函数必有最值。
【经典例题】
考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件能够直接寻求或结构变量之间联络。
例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。
解：由4x2－9y2＝36可解得：
。
说明：这是一个分段函数，必需分区间写解析式，不能够写成形式。
2、待定系数法：由题给条件能够明确函数类型，从而能够设出该类型函数通常式，然后再求出各个参变量值。
例2. 已知在一定条件下，某段河流水流量y和该段河流平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量和平均深度函数关系式。
解：设，代入x，y值可求得反百分比系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为。
3、换元法：题目给出了和所求函数相关复合函数表示式，可将内函数用一个变量代换。
例3. 已知，试求。
解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。故得：。
说明：要注意转换后变量范