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凸体几何中的极值 问 题
冷 岗 松
上海大学数学系
2006. 04. 07
2020/11/25
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最 主 要 的， 我 要 跟 大 家 说 的 是 立 体 几 何 在 数 学 中 是 很 重 要 而 困 难 的 部 分。 即 使 平 面 几 何 也 可 能 很 难。 到 了 立 体 时， 则 更 为 复 杂。 近 年来 对 碳 60 (C60) 的 研 究 显 示了 几 何 在 化 学 中 的应 用。 多 面 体 图 形 的 几 何 性 质 对 固 态 物 理 也 有 重 大 的 作 用。球装不 过 是 立 体 几 何 的 一 个 问 题。 立 体 几 何 是 大 有 前 途 的。
陈省身
在 庆 祝 自 然 科 学 基 金 制 设 立 15 周 年 和 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 成 立 10 周 年 之 际， 以 《中 国 的 数 学》 为 题 发 表的讲 演.
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一. 学科介绍:
凸体的 Brunn-Minkowski 理论.
Lutwak的对偶Brunn-Minkowski理论.
Lp- Brunn-Minkowski理论.
几何断层学(Geometric Tomography).
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凸体的Brunn-Minkowski 理论
凸体： 中有非空内点的紧致凸集.
凸体的支撑函数：设K是 中的一个凸体那么它的支撑函数 定义为
凸体的Minkowski和： 设K，L是 中的凸体
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混合体积(Mixed volume)
Minkowski定理：设 为 中的凸体，
设K，L是 中的凸体，那么
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Steiner 对称
亮度函数
(brightness function)
Steiner 对称与亮度函数
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投影体(Projection Bodies)
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Aleksandrov 投影定理
对于原点对称的两个凸体 K 和 L,
Cauchy投影公式
K的表面积测度
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Shephard问题
Shephard (1964)问:
对于原点对称的凸体 K 和 L, 是否有
Petty 和 Schneider (1967)分别给出了否定的回答，并证明了当L为投影体或 时结论成立.
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Shephard问题的一个反例
Petty 和 Schneider (1967)给出的一个反例.
反例
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