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对面积的曲面积分的定义
∫f(x,y,zS=imn∑f(5,m,5;)AS
性质()∫矿f(x,y,z)aS=k』Jf(x,y,z)d5s;
(2)J[f(r, y, z)+g(x, y,z)]ds
盯∫f(x,y,z)dS+』g(x,y,)ldS;
3)若Σ可分为分片光滑的曲面∑1及Σ2,则
∫∫(x,y,2ldS=』(x,)ds+j(x,y,)dS
特别,当f(x,y,z)≡时,∫dS=Σ的面积。
计算法
若曲面Σ:z=x(x,y);则
∫
f(x,y, z)ds
fIx,y, (x, y)11+z+zv dxdy;
一投:将曲面Σ向xoy面投影,得Dxy
二换
dS=v1+z<(r, y)+zf(r, y)drdy
三代:∫(x,y,x)2:z=x(x,y)
f(x, y, (x, y));
甲里Σ:1=2(x)则
SSf(r,y,z)dS=[x, y(x,2),/1+y22+y2 dxdz;
一投:将曲面X向x0面投影,得Dx
二换:S=1+y2(x:)+y2(x:)ah;
三代:∫(x,y,z)
Σ:y=y(x,x)
∫(x,y(x,z)z);
∑:x=x(y,z)则
JSf(x,y,z)dS=FiX(,2),y,21 1+xy2+x22dydz
一投:将曲面Σ向yoz面投影,得Dy
二换:S=1+x2(y,x)+x2(y,x)yd;
三代:∫(x,y,z)
∫(x(y,z),y,z);
注意:这里曲面方程均是单值函数。
第五节对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分的概念与性质
对坐标的曲面积分的计算法
、两类曲面积分之间的联系
四、小结
、对坐标的曲面积分的概念与性质
观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)
上侧
外侧
下侧
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面法向量的指向决定曲面的侧
决定了侧的曲面称为有向曲面
左侧
右侧
后侧
y
下侧0
y
曲面的投影
z(x,y
在有向曲面Σ上取一小块曲面
△S,规定AS在xoy面上的投
影(AS)为
n(△G)
(△a)xy当cosy>0时上侧
(△S)y=1-(△a)y当cosy<
0当cosy=0时
其中(△a)x表示投影区域的面积
在有向曲面2上取一小块曲面△S,△S在xOz面
上的投影(△S)x2为
(△a)x当cosB>0时右侧
(△S)x={-(△a)x当cosB<0时,左侧
当cosB=0时
其中(△a)表示投影区域的面积
在有向曲面Σ上取一小块曲面△S,△S在yoz面
上的投影(AS)为
△a)当cosa>0时前侧
(AS)y2={-(△a)当cosa<
当cosc=0时
其中(△a)yz表示投影区域的面积