正弦定理与余弦定理应用.doc

第八节正弦定理和余弦定理的应用
[知识能否忆起]
1．实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角：
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角：
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：
相对于某一正方向的水平角(如图3)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
　　　
(4)坡度：
①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．
②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．
2．解三角形应用题的一般步骤
(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3)选择正弦定理或余弦定理求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．
[小题能否全取]
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　)
A．α>β　　　　　　　　　 B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
答案：B
2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
解析：选B　如图所示，
∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
3.(教材****题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
解析：选A　由正弦定理得
AB＝＝＝50(m)．
4．(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，
由正弦定理得＝，
∴AC＝·＝.
答案：
5．(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后
，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．
解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，B＝15°，∴AC＝AB＝8.
在Rt△AOC中，OC＝AC·sin 30°＝4.
∴这艘船每小时航行＝8海里．
答案：8
　 解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
测量距离问题
典题导入
[例1]　郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)．
[自主解答]　(1)在△ABC中，由余弦定理得
cos C＝＝，①
在△ABD中，由余弦定理得
cos D＝＝，②
由∠C＝∠D得cos C＝cos D.
解得AB＝7，所以AB的长度为7米．
(2)小李的设计使建造费用最低．
理由如下：
易知S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C，
因为AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D，
所以S△ABD>S△ABC.
故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．
若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？
解：因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，
∠D＝60°，∠C＝60°.
故S△ABC＝AC·BCsin C＝10，
所以所求的最低造价为5 000×10＝50 000 ≈86 600元．
由题悟法