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将军饮马问题解析
郑若军
2019车年9月26日
什么是将军你马问题?
早在古罗马时代,传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学
者,名叫海伦。一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思
不得其解的问题。将军每天从营地A出发,先到河边饮马,然后再去河
岸同侧的营地B地开会,应该怎样走才能使路程最短
从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。
营地B
可岸
解决水法
如图际示,从A出发向河岸线L引垂线,垂
B
足为D,在AD的延长线上,取A关于河岸的对
称点A’,连结AB,与河岸线相交于C,则C点
就是饮马的最佳位置。将军只要从A出发,沿
直线走到C,饮马之后,再由C沿直线走到B
所走的路程就是最短的
如果将军在河边的另外任一点C饮马,所
走的路程就是AC+CB。但是
河岸线L
AC+CB=A'C+CB>A'B=A'C+CB=AC+
可见,在C点外任何一点C饮马,所走的路
程都要远一
将军笊马问题模型化
在解决日常生活中遇到的问题时,我们把常常把问题数学化抽象归纳成
为一个数学模型。将军饮马问题也不例外。在这个问题中,我们把营地A
营地B抽象为点A、点B,把河岸抽象为直线L,把距离抽象为线段的长度,这
样,一个生活问题就转化为一个数学问题。
将军饮马问题模型有很多变种,但是,其核心理论基础不外乎以下两点:
1)公理:两点之间线段最短;2)垂直平分线定理
将军饮马问题寻找对称轴的方法:动点在哪儿,对称轴就在哪儿。找到
对称轴之后,再作对称点,然后再将题设中求和的各个线段映射到一条直线
上。最后,就可以利用上述两个定理加以证明了。
下面,对常见的十四个问题模型进行逐个讲解。
将军马问题模型1--问题
【问题】如图所示,点A和点B是直线L同一侧的两个点,点C是直线L上
的一个动点。请问点C运动到哪个位置,能使得AC+BC最小。
将军马问题模型1--解答
(0
【问题】如图际示,点A和点B是直线L同一侧的两个点,点C是直线L上的一个动
点。请问点C运动到哪个位置,能使得AC+BC最小。
解答】过点A作线段AG垂直于直线L交于
点G,延长AG至G′,使AG=AG′,连接AB交直
线于点C,在直线L上取另外任一点C,连接
AC、AC和BC,因为直线L是AA的垂直平分
直线L
线,显然有
AC+CB=A'C+CB>A'B=AC+CB=AC+C
B
因此,AC+BC取最小值
将军笊马问题模型1--演示
【问题】如图所示,点A和点B是直线L同一侧的两个点,点C是直线L上
的一个动点。请问点C运动到哪个位置,能使得AC+BC最小。
【观察】在点C的运动过程中,始终有
CB=AC+CB≥A'B=A'C+CB
当且仅当点C和点C重合时,上述不等式
的等号成立
将军马问题模型2--问题
【问题】如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A
使△PAB的周长最小。
将军马问题模型2-解答
(0
【问题】如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B。使△PAB
的周长最小。
【解答】分别作P点关于射线OM、ON的对称点P、
易知,射线OM和ON分别是线段PP和PP的垂直平分线
连接PP分别交OM、ON于点A和点B。连接PA、PB,易
知
糅τ±瞰A+部知:P。
△PAB的周长=PA+AB+BP=PA+AB+BP">PP“=△PAB的周
长
(公理:两点之间线段最短)
因此,图中△PAB的周长最小。
将军马问题模型2--演示
(0
【问题】如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A
使△PAB的周长最小。
【观察】在点A和点B的运动过程中,始
终有
PA+A"B+BP"≥PA+AB+BP
当且仅当点A和点A、点B和点B同时重合
B
时,上述不等式等号成立