高中数学联赛江苏初赛模拟试题01样稿.doc

高中数学联赛江苏预赛模拟试题一
（时间：120分钟 满分：150）
姓名_______________
一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．在中，分别是角所对边边长，若，
则值是_______________
2．函数最小值是_______________
3．双曲线左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段
为直径两圆位置关系一定是_______________
4．设，若“方程满足，且方程最少有一根”，就称该
方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”个数为____________
5．设是任一排列，是到映射，且满足，
记数表；若数表对应位置上最少有一个不一样，就说
是两张不一样数表，则满足条件不一样数表张数为___________
6．函数最大值和最小值之差等于___________
7．图，一个立方体，它每个角全部截去一个三棱锥，变成一个新
立体图形；那么在新图形顶点之间连线中，在原立方体内部
有_________条．
8．设，其中满足，
则最小值为______________
9．设内接于半径为⊙，且，为底边上高，则最大值
为_______________
10．设为整数，集合中数由小到大组成数列：
，则_______________
二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．
11．已知正方形两顶点在抛物线上，另两个顶点在直线上，
求此正方形边长．
12．设实数满足条件，，其中，
求最大值．
13．图，是两条高，和分别是和中点，是外心；
求证：．
14．某班有20人，参与语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10整数；
考试结果是：①没有0分；②没有两个同学语文、数学成绩相同．
我们说“同学比成绩好”，是指“同学语文、数学成绩全部不低于”．
证实：存在三个同学、、，使得同学比同学成绩好，同学比成绩好．
高中数学联赛江苏预赛模拟试题一答案
一、填空题
1．在中，分别是角所对边边长，若，
则值是
解：由得，；
即，由正弦函数有界性及为三角形内角可知，
且，从而，∴；∴．
2．函数最小值是
解：；
令，则，故最小值为．
3．双曲线左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径两圆位置关系一定是
解：设双曲线另一个焦点为，线段中点为，在中，为中点，为中点，从而，从而以线段为直径两圆位置关系一定是内切．
4．设，若“方程满足，且方程最少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”个数为
解：由题可知，方程两根均为整数且两根一正一负，当有一根为时，有9个满足题意“漂亮方程”，当一根为时，有3个满足题意“漂亮方程”，共有12个．
5．设是任一排列，是到映射，且满足，记数表
；若数表对应位置上最少有一个不一样，就说是两张不一样