插值与逼近拟合及其Matlab应用.ppt

插值和拟合及其 Matlab应用
内容提要
§1、插值方法
§11拉格朗日插值方法
§12三次样条插值方法
§13 Matlab应用举例
§2、逼近与拟合
§21最佳平方逼近
§22数据拟合的最小二乘法
§23 Matlab应用举例
§1插值方法
§
设函数y=f(x)在区间a,b上有定义,且已知它在点a≤
<x1<…<x≤b上的函数值y,y…,yn
若存在一个次数不超过的多项式
v=P(x)
P(x)=ao+a1x+…+anx",
满足条件
P(x)=y;(i=0,1,…,n)
则称P(x)为(x)的插值多项式,点(x,y)为插值点,
x为插值节点
先考察n=1时,假定给定区间xk,xk+1及端点函数值k
∫(xk)yk艹1=f(xk+1要求线性插值多项式1(x),满足
L(rk)=yk, l(rk+)=yk+.
L(r)
k+1
yk t
yk
1k+1
xk+l
令lk(x)
X-x
LkI(x)
则所求线性插值多项式
L(x)=yr l(x)+yk+lk(x),
再考察n=2时,很定给定插值节点k1,x,xk+要求
二次插值多项式2(x,满足
2(xk-1)=yk-1,L2(xk)=yk,L2(xk+1)=yk+1
采用基函数法,基函数k1(x),(x)和l1(x)是二次函数,
并满足
1k1(x∠1)=1,k21(x)=0,l1(xk1)=O,)
l2(xk1)=O,k(x)=1,2(xk+1)=0
lk+1(xk1)=0,k+1(x)=0,k+1(xk+)=1.
lk-1(x)=
(x-xk(x-xkv)
(xk1-x1)(xk-1-xk+1)
1(k1(联一41(=(x-,C=)
x-xk∠1)(
(xk+i-xk(k+l-xk)
于是,所求二次插值额式
yx-lk(r)+yolk(r)
(x),()
也就是,
x-xk(r-xkuD
(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)
r-xk_i(x
t yk
k-xk-i(xk-xk+1)
(r-Ek_u(-r)
t yk
(xk+1-xk-1)(xk+1-xk)
一般情况,对于给定的n+1个插值节点x<x1<…<x
要求n次插值多项式Ln(x,满足
Ln(x;)=y;,(i=0,,…,n
仍采用基函数法,求一个m次插值基函数l(x),满足
0,i≠k
Lk(xi)
(i,k=0,1,…,n)
.i=k
(x-x0)…(x-x1)(x-xk+1)…(x-xn)
1)(x-xk+1)…(xk-xn
故所求n次插值多项式
L2(x)=∑ylk
L(x)称为n次拉格朗日插值多项式
练****给定数据表
2
01
5
14
求三次拉格朗日插值多项式L3x)
解:,取=3并代入数据表值得
L3(x)=0·l0(x)+(x)+5l2(x)+14l3(x)
=0+1
x(x-2)x-3),-x(x-1)(x-3)
十5
1·(-1)·(-2)
21,(-1)+14x(x-1)(x-2)
·1
x(2x2+3x+1)1
r(x+1)(2x+1)
6
(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn
r-e
或
(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(xk-xn)0xk-x
§12三次样条插值方法
定义1对节点=x<x1<…<xn=b,若存在(x)满足:
1)在每个小区间x,x1是一个次数不超过次的多项式
2)在每一个内节点上具有到二阶的连续导数
则称(x)是节点x0,x1,…,xn上的三次样条函数
若在节点上给定函数偵(x)=y(=0,…,n,并满足
3)s(x;)=yj,j=0,…,n,

则称(x)是三次样条插值函数
三次样条插值函数(x)的确定
1(x),x0≤x≤
x15
S(x)=
(
Sn(x),xn1Sx≤xn
在每个[x;,x;1上要确定4个待定系数,共4n个参数
因二阶导数连续,故节点x上满足连续性条件
s(x;-0)=s(x;+0),s(x;-0)=s(x;+0),
s"(x;-0)=s"(x;+0).(=1,…,n-1)
再加上插值条件,共n-2个条件
还需2个条件,通常在两个端点加上边界条件