群的直积.docx

群的直积( Direct Product of Group ) 群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知 的群构出新的群， 可以用小群构造大群， 也可以将一个群用它的子群来表示， 这一节介绍子 群的直积及其基本性质。
定义1设G,G2是群，G {( ai,a2)\ai G’a? G2)为集合 Gi与G2为的卡氏积
( Cartesian product ) ,在 G 中定义乘法运算
(a1,a2) (b1,b2) (a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2) G 。
则G关于上述定义的乘法构成群，称为群 Gi与G2的外直积(external direct product )，记
作 G G1 G2， Gi、G2称为 G 的直积因子(factor of the direct product)。
当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作 G1 G2。
定理1设G G1 G2是群G1与G2的外直积，则
G是有限群的充分必要条件是 G1与G2都是有限群，并且，当 G是有限群时，
??有 |G| IG ||G2| ；
G是交换群的充分必要条件是 G1与G2都是交换群。
( 3) G1 G2 G2 G1 ；
(4) 若令A {(玄1,仓)|印 G,€2为G2的单位元}，则A1是G的子群，且G A1 ；
若令A2 {(6总)22 G?©为的单位元}，则A2是G的子群，且G2 A。 证明 ( 1 )由卡氏积的性质显然。
(2)如果G和G2都是交换群，则对任意的 佝总),®®) G,有
(a「a2)(db) ***@482匕2) (^6山2&2) (34)佝^?)，所以 G 是交换群。
反 之 ， 如 果 G 是 交 换 群 ， 那 么 对 任 意 的 a1,b1 G1 ， a2,b2 G2 有
⑻总)(db) (db) (a®)，即 ⑻^总匕?) 9卍1山2&2)。
故a1 bi b1 a1， a2b2 b2a2，所以G1， G2都是交换群。
( 3)构造映射
:G1 G2 G2 G1
(a1,a2)
(a2,a1)， (a1,a2) G1 G2，
显然 是双射，且
((a1,a2)(b1,b2)) (a1b1,a2b2) ( a2 b2 , a1 b1 ) (a2,a1)(b2 ,b1) (a1,a2) (b1,b2)
因此， 是G1 G2到G2 G1的同构映射，即G1 G2 G2 G1。
(4)构造映射
:G1 A1
a1 (a1,e2)
则易知 是一个同构映射，因此 A是g的子群，同理可证另一个结论。
例1设Gi a ,G2 b分别是3阶和5阶的循环群，则G G G?是一个15
阶的循环群。
证明 首先，由定理1知，G是一个15阶的交换群，设c (a,b) G， (ei，e2)是G的
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单位元，则c (©,b ),c (a ,e2)，所以c ,c都不等于 G©)，可知ordc 3,5由拉 格朗日定理知，ordc=15，即G c 是15阶循环群。
例 2 Z2 Z2 G,这里 G (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)
证明 对于4阶群Z2 乙中的任意元(a,b)有(a,b) (