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如图所示轻质弹簧的一端固定另一端系一轻绳轻绳绕过滑....pdf

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15 2 如图所示轻质弹簧的一端固定另一端系一轻绳轻绳绕过滑轮连接一质量为 m
的物体绳在轮上不打滑使物体上下自由振动已知弹簧的劲度系数为 k 滑轮的半径为
R 转动惯量为 J 1 证明物体作简谐振动 2 求物体的振动周期 3 设 t=0 时弹
簧无伸缩物体也无初速写出物体的振动表示式
分析证明系统作简谐振动可从受力分析入手看物体所受合力力矩是否满足简谐振
动的动力学特征或简谐振动的微分方程也可由系统机械能守恒得证
解 1 物体滑轮弹簧的受力情况如解图 15 2 所示选坐标 Ox 向下为正坐标原点
位于物体静止平衡位置此时弹簧的伸长量为 b 有
mg − T1 = 0,T1R − T2R = 0,T2 = kb
mg
得 b =
k
1 当物体偏离平衡位置 x 时物体和滑轮的运动方程分别为
d 2 x
mg − T = m 1
1 dt 2
T1R − T2 R = Ja 2
T2 = k()b + x 3
d 2 x
因绳在轮上不打滑= Ra 4
dt 2
解以上方程得
d 2 x k
= − x = −ω 2 x 5
dt 2 m + J R 2
k
ω= 6
m + J R 2
微分方程 5 证明物体作简谐振动
2 有 6 式得振动周期
2π m + J R 2
T = = 2π
ω k
3 振动的初始状态为 x0 = −b,v0 = 0 代入简谐振动的一般表达式得
− b = Acosϕ,0 = −Aω sinϕ
mg
可得 A = b = ,ϕ= π
k
所以物体的振动规律为
mg  k 
x = Acos()ωt + ϕ= cos

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如图所示轻质弹簧的一端固定另一端系一轻绳轻绳绕过滑....pdf

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