人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型含解析.doc

几何图形之半角模型
主 题
半角模型
教学容
教学目标
，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
　　。
　　。
　　。
　　，培养学生辩证观点。
知识结构
正方形的性质
　　因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，
　　所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。
　　正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
　　正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
　　说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
　　小结：
　　（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图
　　（2）正方形的性质：
　　　①正方形对边平行。
　　　②正方形四边相等。
　　　③正方形四个角都是直角。
　　　④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲
例1．如图，折叠正方形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，使，求．
【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．
由题意可知∠ADG=GDM，
则△ADG≌△MDG．
∴DM=DA=2． AC=GM
又易知：GM=BM．
而BM=BD-DM=2-2=2（-1），
∴AG=BM=2（-1）．
例2 ．如图，为正方形一点，，并且点到边的距离也等于，求正方形的面积？
【解析】：过作于交于．
设，则，．
由．
可得：．
故．
．
例3. 如图，、分别为正方形的边、上的一点，，垂足为，，则有，为什么？
【解析】：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．
理由：连结AE、AF．
由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，
∴△ABE≌△AME．
∴BE=ME．
同理可得，△ADF≌△AMF．
∴DF=MF．
∴EF=ME+MF=BE+DF．
例4．如下图、分别在正方形的边、上，且，试说明。
【解析】：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
例5. 如图，在正方形的、边上取、两点，使，于. 求证：
【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，
应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
∠EAF=45°怎么用呢？
显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
【证明】：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB.
　∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.
　∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.
　又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.
　∴ △AEF≌△AEH.
例6.(1) 如图1,在正方形中,点,分别在边,
上,,交于点,.
求证：.
图2
(2) 如图2,在正方形中,点,,,分别在边,
,,上,,交于点,,.
求的长.
已知点,,,分别在矩形的边,,,上，
,交于点,,. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长；
②如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示).
图4
图3
图1
【解析】
(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
∴ ∠EAB+∠AEB=90°.
∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC，
图2
O′
N
M
∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF．
(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,A