二 函数的极限 无穷小无穷大.ppt

第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节,)(xfy?对 0)1(xx??? 0)2(xx ?? 0)3(xx ?? x)4( ??? x)5( ??? x)6( 自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限定义 1 . 设函数)(xf 在点 0x 的某去心邻域内有定义,,0???,0???当???? 00xx 时, 有???Axf)( 则称常数 A为函数)(xf当 0xx?时的极限,Axf xx??)( lim 0 或)()( 0xxAxf??当即,0???,0???当),( 0?xx ???时, 有若记作???Axf)( Axf xx??)( lim 0几何解释: ?? 0x? 0x ??A??A Ax 0x y)(xfy?一、自变量趋于有限值时函数的极限例 1. 证明21 1 lim 21????x x x 证: 21 1 2???x x21???x ,0???取,???当????10x 时, 有因此21 1 lim 21????x x x1??x ??例 2. 证明 221 4 3 lim 1 1 x x x x ?? ???证:,0???取,4 ???当????10x 时,有因此 22 4 3 11 x x x ? ??? 2 4 1 1 xx ??? 4 1 x ? ??? 221 4 3 lim 1 1 x x x x ?? ???例 3. 证明 0 1 3 1 lim 2 2 xxx ????证:,0???取 min{1, }, 3 ???当 0x?? ?时,有 1 3 1 2 2 xx ??? 5 2 2 xx ????3x? 1 2 2 1 x x x ? ????当时,有因此 221 4 3 lim 1 1 x x x x ?? ???例 4. 证明: 当0 0?x 证: 0xx?001xxx ??欲使,0????x??? 0xx 因此, 0???xx只要, 00?xxx?? 0 0 lim xx xx??. lim 0 0xx xx??时0 0xx xx???故取??,, min 00xx???则当???? 00xx 时, 必有 ox 0xx 例 5. 证明: 证:要使,0???因此, sin sin 0???xx只要??? 0xx. sin sin lim 0 0xx xx??故取,???则当???? 00xx 时, 有|2 cos 2 sin |2 sin sin 00 0xxxxxx ????|||2 sin |2 0 0xx xx????, sin sin 0???xx . sin sin lim 0 0xx xx??就行. 左极限: ??)( 0xf Axf xx???)( lim 0,0???,0???当),( 00xxx???时, 有.)(???Axf右极限: ??)( 0xf Axf xx???)( lim 0,0???,0???当),( 00???xxx时, 有.)(???Axf定理 1 . Axf xx??)( lim 0 Axfxf xxxx??????)( lim )( lim 0 0 例 6. 设函数???????????0,1 0,0 0,1)(xx x xxxf讨论 0? x时)(xf的极限是否存在. x yo1?1??xy 1 1??xy 解: )( lim 0xf x ??)1( lim 0????x x1??)( lim 0xf x ??)1( lim 0????x x1?显然,)0()0( ???ff所以)( lim 0xf x????A??Ao x y)(xfy?A 二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义 2. 设函数 xxf当)( 大于某一正数时有定义, 若,0??X,)(,????AxfXx有时当则称常数时的极限,Axf x???)( lim ( ) ( ) f x A x ? ??或几何解释:??????AxfA)(XxXx???或记作直线 y = A为曲线)(xfy?的水平渐近线,0????? xxf当)( A为函数