第七章7动能和动能定理.docx

第七章 7 动能和动能定理
动能的表达式
通过上节的实验，我们已经了解到一个特殊情形下力对物体做的功与物体速度变化的关系，即W∝v2。根据做功与能量变化相关联的思想，这个结果实际上向我们提示：物体动能的表达式中可能包含v2这个因子。本节我们再沿另一条线索探索物体动能的表达式，如果两者能够相互支持，做结论时就多一分把握。
设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，-1所示。这个过程中力F做的功W＝Fl。
-1 物体在恒力作用下发生了一段位移，速度增加。
根据牛顿第二定律
F＝ma
而v22－v12＝2al，即
l＝
v22－v12＝2al是匀变速运动的规律。这个物体的运动是匀变速运动吗？
把F、l的表达式代入W＝Fl，可得F做的功
W＝
也就是
W＝mv22－mv12
从这个式子可以看出，“mv2”很可能是一个具有特定意义的物理量，因为这个量在过程终了与过程开始时的差，正好等于力对物体做的功，所以“mv2”应该就是我们寻找的动能表达式。上节的实验已经表明，力对初速度为0的物体所做的功与物体速度的二次方成正比，这也印证了我们的想法。于是我们说，质量为m的物体，以速度v运动时的动能是
Ek＝mv2 （1）
动能也是标量，它的单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，这是因为1
kg·m2/s2＝1 N·m＝1 J。
我国在1970年发射的第一颗人造地球卫星，质量为173 kg， km/s，它的动能是
Ek＝mv2＝×173×（×103）2 J ＝×109 J
动能定理
在得到动能的表达式后，W＝mv22－mv12可以写成
W＝Ek2－Ek1 （2）
其中Ek2表示一个过程的末动能mv22，Ek1表示这个过程的初动能mv12。
这个关系表明，力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫做动能定理（theorem of kinetic energy）。
如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。例如，一架飞机在牵引力和阻力的共同作用下，在跑道上加速运动，速度越来越大，动能也就越来越大。牵引力和阻力的合力做了多少功，飞机的动能就增加多少。
本书中，动能定理是在物体受恒力作用，并且做直线运动的情况下得到的。当物体受变力作用，或做曲线运动时，我们仍可采用过去的方法，把过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，这样也能得到动能定理。
正因为动能定理适用于变力做功和曲线运动的情况，所以在解决一些实际的力学问题时，它得到了广泛的应用。
例题1
一架喷气式飞机，质量m＝×103 kg，起飞过程中从静止开始滑跑。当位移达到l＝×102 m时，速度达到起飞速度v＝60 m/s。。求飞机受到的牵引力。
-2 起飞时飞机所受的牵引力是多少？
【分析】滑跑过程中牵引力与阻力的合力对飞机做功。本题已知飞机滑跑过程的始末速度，因而能够知道它在滑跑过程中增加的动能，故可应用动能定理求出合力做的功，进而求出合力、牵引力。
【解】飞机的初动能