高斯求和.doc

德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算: 1+2+3+4+…+ 99+ 100 =? 老师出完题后, 全班同学都在埋头计算, 小高斯却很快算出答案等于 5050 。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现: 1+ 100 =2+ 99=3+ 98=…= 49+ 52= 50+ 51。 1~ 100 正好可以分成这样的 50 对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为( 1+100 )× 100 ÷2= 5050 。小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如: (1)1,2,3,4,5,…, 100 ; (2)1,3,5,7,9,…, 99; (3)8, 15, 22, 29, 36,…, 71。其中(1) 是首项为 1, 末项为 100 , 公差为 1 的等差数列;(2) 是首项为 1, 末项为 99 ,公差为 2 的等差数列;( 3 )是首项为 8 ,末项为 71 ,公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式: 和= (首项+ 末项) × 项数÷2。例11+2+3+…+ 1999 =? 分析与解:这串加数 1,2,3,…, 1999 是等差数列,首项是 1 ,末项是 1999 ,共有 1999 个数。由等差数列求和公式可得原式=(1+ 1999 )× 1999 ÷2= 1999000 。注意: 利用等差数列求和公式之前, 一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例2 11+ 12+ 13+…+ 31 =? 分析与解:这串加数 11, 12, 13,…, 31 是等差数列,首项是 11 ,末项是 31 ,共有 31-11 +1= 21 (项)。原式=( 11+31 )× 21÷ 2=441 。在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数= (末项- 首项) ÷ 公差+1, 末项= 首项+ 公差× (项数-1 )。例33+7+ 11+…+ 99 =? 分析与解: 3,7, 11,…, 99 是公差为 4 的等差数列, 项数=( 99-3)÷4+1= 25, 原式=(3+ 99)× 25÷2= 1275 。例4 求首项是 25 ,公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。解:末项=25 +3×( 40-1 )= 142 , 和=( 25+ 142 )× 40÷2= 3340 。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5 在下图中,每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2 ,边长是 1 根火柴棍。问: (1 )最大三角形的面积是多少平方厘米?( 2 )整个图形由多少根火柴棍摆成? 分析:最大三角形共有 8 层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表: 由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。解:( 1 )最大三角形面积为(1+3+5+…+ 15)× 12 =[( 1+ 15)×8÷2]× 12 = 768 (厘米 2