定积分计算..docx

第二节定软今的针耳
变上限定积分 设/(X)在⑷①上连续
p{x)=V f{t}dt
Ja
称为变上限定积分.
産理§J」僦软今槽基痒足理趺原蠲热痞虚st «丿 如果/(兀)在血勿上连续，"(x) = £7(Wr, 则P(x)是f(x)在[a，刃上的一个原函数， 即有 p\x}^([f(t)dty = f(x}.
证 如=】hn p(x + m-p(x)—_—
4->« Ax a X x^Ax h
fx+Ax fx px+Ax
J f(t)dt-l f(t)dt f f{t)dt
Ax
=lim 如 仏 =lim
ajtto Ar Ax->« Ar
例1设/u)=r cos^ tdt^ 求广(x)・ 解 f\x) = (j^cos^ tdtS = cos^ X.
例2设yCr) = £eJ力，求广(X).
解 /(X)= f 仑一八力=—j^e'dt f\x) = -g"・ 例3 设/(x) = 求广(X).
解p(w) = 和"=兀'+兀复合而成
f (x) = sin，-(x^ +兀)'=(3兀2 +i)sin(x3 +工)2・
r p/ow)'=/I 仅兀)]• 0(兀)
Ja
例4 设 /(x)= 求广(x)・
ifcosx
cosx
4 、 .0 * pxinx *
f(X)= I t dt = \ t dt+ \ t dt
叶 J Jcosx Jcosx Ju
fcosx - ^xlnx -
=- rdt+ rdt Jo Jo
八巧=一(匸»悶,+qg&), =—<cosx)2 -(cosx/+ (xlnx)^(xlnx)' =—(cosx)2.(—sinx) + (xlnx)^(l + lnx) = (cosx)^sinx + (xlnx)^(l + lnx).
上限X —被积函数在上限处的值
上限0(兀一 被积函数在上限处的值
乘以上限的导数
下限变 交换上下限加负号再求导
⑷上下限变-nj用区间可加性拆开再求导
广时山
例5求极限Hm-~P .
的 L J1 +厂必,.J1 + * • 2x 解Hm——,——=Hm
H Al
= lim J1 +兀 ° =
X* 兀2 工 _>0 2x xtO
例6求由方程匸/力+ J：cos曲=0所确定 的隐函数的导数.
解 方程两边作为X的函数同时求导
"d + cosx = 0
H Al
KirZ HI f COS X
所以y = ・
e
I如果/(X)在旧血上连续，F(x)是/(X) 在［血］上的一个原函数，则£/(x)rfx = F(6)-F(a). 证 因 F\x}=f{x)
所以 V f{t)dt=F{x}-\-c
Ja
令 x=4 贝0 r f(t}dt=F(a)c = -F(a)
Ja
所以［T(fW=F(x)-F(a)
再令x=b 得 Cf{t)dt=F{b}-F{a\
Ja
H ►!
/(兀曲=F(x)|：=F(b) —F(a)
r
求］:x^dx.
nrr
0 3 3 3
「兀2必=(£，)=-
Jo 3 ■
求f (工2 — l)(x + 2)dr・ 解原式=f (x' + 2x2_x —2)必
xdx—
2
—2(x) 0= 10/3.
H ►!
=J： x^dx + 2^x^dx — f
［ 2 ］ 2 *
= (-x") +2(-x") 一(一工2)
4 « 3 « 2 ,
例8求1二^必. 解原式=1：（*-1+亓!尹处
=(―— X -I- arctan x)
sinx -cosxp/x.
ft
'兀2
=
例9求J]
0 4 3
_ 兰
解原式= 兀 —sinx)6?x +Jj(sinx — cosx)Jx
4
zr ft
= (sinx+cosx) J +(-cosx-sinxjf
w
= 172-2. "
H ►!
[Vx —1 O<JC<1 3
例 10 设 /(x)= ，求 P/UWx.
IgY l<x<3
解 ^f{x}dx= j^ f{x}dx + ^f{x}dx
=£ — Y}dx + £ e~^dx = (-x^-x) +(y7)『
4 1
= —•
4訂e
计算 l：；2dx. 解 L 士
=—1 — 1 = —2.
-1
注 这是错误的，因为定理要求连续•
丿
■m CM-
三•定积分的换元积分法
第一类换元积分（凑微分）法具体做题步骤:
Ju
F(0)-F(a)
(p(x) = u f(u)du
Ja
p
a
=/(")