隐函数求导公式.pptx

隐函数求导公式.pptx第 5 节：隐函数的求导公式
教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。
教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅
教学课时：2
教学内容：
一、一个方程的情形
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程
f (x, y) =0
(1)
求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导
出隐函数的导数公式.
隐函数存在定理 1 设函数 F (x, y) 在点 P(x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数，
且 F (x0 , y0 )  0 ，, Fy (x0 , y0 )  0 ，则方程 F (x, y) =0 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能唯 一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y  f (x)，它满足条件 y0  f (x0 ) ，并有
dy   Fx dx Fy
（ 2 ）
公式（2）就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数 y  f (x) 代入，得恒等式
F (x, f (x))  0 ,
其左端可以看作是 x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍 然恒等，即得
F  F dy  0,
x y dx
由于 Fy 连续，且 Fy (x0 , y0 )  0 ，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内 Fy  0 ，于 是得
/1 7
dy   Fx .
dx Fy
如果 F (x, y) 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作 x 的复合函数而再 一次求导，即得
y 
F  dy

 x 
y  F  dx
F 
y 

 x  
  F   

dx 2 x 
d 2 y
y
xy x y yy x .
xx y
y
y
F 3
F 2
F 2
F 2
F F 2  2F F F  F
 
y 
Fx 
 F 

 
Fxy Fy  Fyy Fx 

Fxx Fy  Fyz Fx
 
例 1 验证方程 x 2  y 2  1  0 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导
数、当 x =0 时， y  1的隐函数 y  f (x)，并求这函数的一阶和二阶导数在 x =0 的值。 解 设 F (x, y)  x 2  y 2  1，则 F  2x, F  2y , F(0,1)  0, F (0,1)  2  0 .因此
x y y
由定理 1 可知，方程 x 2  y 2  1  0 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数、当 x =0 时， y  1的隐函数 y  f (x)。
下面求这函数的一阶和二阶导数
dy   Fx =  x ，
dx Fy y