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等差数列求和公式 1 :}{ 项和为的前数列 na nns n naaaas?????... 321???1nnss na 1 3211 ??????? n naaaas ... 2 10 10岁的高斯(德国)的算法: 岁的高斯(德国)的算法: ??首项与末项的和: 首项与末项的和: 1+100=101 1+100=101 ??第第2 2项与倒数第项与倒数第 2 2项的和: 项的和: 2+99=101 2+99=101 ??第第3 3项与倒数第项与倒数第 3 3项的和: 项的和: 3+98=101 3+98=101 ??………………………………………………………………………………??第第 50 50项与倒数第项与倒数第 50 50项的和: 项的和: 50+51=101 50+51=101 ??∴∴ 101 101 × ×( ( 100 100 / /2 2) ) =5050 =5050 一、引例: 1+2+3+…+100= ? 3 设等差数列{ 设等差数列{ a a n n}的前}的前 n n项和为项和为 S S n n,即,即??S S n n =a =a 1 1 +a +a 2 2+ +……+a +a n n ?? =a =a 1 1 +(a +(a 1 1 +d)+ +d)+ ……+[a +[a 1 1 +(n-1)d] +(n-1)d] ??又又S S n n =a =a n n +(a +(a n n -d)+ -d)+ ……+[a +[a n n -(n-1)d] -(n-1)d] 二、公式的推导: ??∴∴ 2Sn=(a 2Sn=(a 1 1 +a +a n n )+(a )+(a 1 1 +a +a n n )+ )+……+(a +(a 1 1 +a +a n n) ) = n(a 1 +a n) )( )(1 2 1???? n naanS ???此种求和法称为倒序相加法?n个 5 思考:由上面的推导过程中,你能判定下式的关系: 在等差数列{a n}中a 1+a n a 2+ a n-1 —— a 3+ a n-2…a m +a n-m= = = 6三、公式的应用: ) ....( )(12 1n naanS ??)...( )(22 1 1d nn na S n???根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{ a n}的 S n (1)a 1 =5,a n =95,n=10 (2)a 1 =100,d= - 2,n=50 (3)a 1 =,d=,a n =32 S 10 =500 S 50 =2550 S 26 = 7 )( )(12 1?? n naanS ???)( )(22 1 1?? d nn na S n???例1. 等差数列- 10,- 6,-2,2,…前多少项和是 54? ∴∴-10n+[n(n-1) -10n+[n(n-1) / / 2] 2] × × 4=54 4=54 解得解得: n=9 : n=9 , , n=-3( n=-3( 舍舍) )∴∴前前9 9项的和是项的和是 54 54 解: 解: ∵∵a a 1 1 =-10, d=-6 =-10, d=-6 - - (-10)=4 (-10)=4 8 练****1)等差数列 5,4,3,2,…前多少项的和是- 30? (2)求等差数列 13,15,17,…81的各项和 15项 1645 9 例 100 的正整数中共有多少个被 3 除余 2,这些数的和是多少? )( )(12 1?? n naanS ???,,:3 232 100 23???n n得由解 32 31 210,,,,???n即有 33个被 3整除余 2的数,这些数为: 2 ,5,8,…98 1650 2 33 98 2?????)( nS )( )(22 1 1?? d nn na S n??? 10