自动控制原理：第4章 根轨迹分析法.ppt

第4章 根轨迹分析法
自动控制原理
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
***出版社
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自动控制原理
概述
根轨迹的概念
根轨迹的绘制
广义根轨迹的绘制
控制系统的根轨迹分析
第4章 根轨迹分析法
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自动控制原理
稳定性：特征根在S平面的左半平面
动态指标：三个等线
根轨迹概念
做根轨迹，8条规则
参变量的根轨迹
改变开环零、极点对根轨迹的影响
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自动控制原理
根轨迹的概念
系统的开环传递函数
系统闭环传递函数
闭环特征方程
闭环特征根
（1）解析法绘制根轨迹
令K从0到∞变化，则闭环特征根在复
平面上描绘出若干曲线（根轨迹）。
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自动控制原理
（2）从根轨迹图分析闭环系统各种性能
分析稳定性：在0<K<∞范围内，系统是稳定的。
分析动态性能：当0<K<，系统是过阻尼的；
当K=，系统为临界阻尼状态；
当K>，系统是欠阻尼的。
若已知K=1，则闭环极点为-1±j，参数ζ=，ω=，系统的瞬态响应指标超调量σ%= %，调节时间ts＝3秒。
当K继续增大时，其超调量σ%将增大，而调节时间基本不变。
分析稳态性能：系统是Ⅰ型的，阶跃函数作用下的稳态误差为零。
根轨迹的概念（续）
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自动控制原理
（3）根轨迹方程
闭环特征方程： 1+G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = -1
通常系统开环传递函数G(s)H(s)等于系统各环节传递函数
之积，即
或
幅值方程： ， 为根轨迹增益
相角方程：
根轨迹方程
根轨迹的概念（续）
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根轨迹的绘制
绘制根轨迹的基本规则
（1）根轨迹的方向、起点和终点
根据根轨迹定义，根轨迹起始于K*=0，终止于K *→∞。
由幅值条件得
当K*=0时， s→-pj (j=1，2，…，n)为系统的开环极点；
当K*→∞时，s→-zi (i=1，2，…，m)为系统的开环零点。
结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环
零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于无
穷远处。
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自动控制原理
根轨迹的分支数、连续性和对称性
（2）根轨迹的分支数
每个闭环特征根的变化轨迹都是整个根轨迹的一个分支，因此根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的数目相同。
结论：根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，也即开环零点数m和开环极点数n中的较大者。
（3）根轨迹的连续性和对称性
K*的无限小增量与s平面上的长度|s+pj|及|s+zi|的无限小增量相对应，即复变量s在n条根轨迹上均有一个无限小的位移。当K*从零到无穷大连续变化时，根轨迹在s平面上一定是连续的。
特征根可以是实数根或复数根，而复数根又必然是成对出现的共轭复数，所以这些根必然对称于实轴。
结论：根轨迹是连续的，且以实轴为对称的曲线。
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自动控制原理
根轨迹在实轴上的分布、渐近线
（4）实轴上根轨迹的分布
若点s0右边零、极点个数之和为奇
数，则s0点所在线段是根轨迹一部分；
若点s0右边零、极点个数之和为偶
数，则s0点所在的线段不是根轨迹。
结论：实轴上属于根轨迹的部分，其右边开环零、极点的个
数之和为奇数。
（5）根轨迹的渐近线
结论：如果系统的有限开环零点数m少于其开环极点数n，则当根迹增益K*→∞时，趋向无穷远处根轨迹的渐近线共有n-m条。这些渐近线
与实轴上的交点坐标为
与实轴正方向的夹角为
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自动控制原理
根轨迹在实轴上的分布及渐近线举例
设系统开环传递数为
根据开环传递函数，得知开环极点数n=3，开环零点数m=0，首先将开环极点0，-1和-2标注在s平面上。由规则：
1）根轨迹有三条分支，分别起始于0，-1和-2，且这三
条根轨迹都将趋向无穷远处；
2）实