自动化所2004“应用随机过程”讲义--第一讲习题参考答案.pdf

n
1. 设 N 为取值非负整数的随机变量, 证 2  nnn121−λ n3 
λλ12−−λλ123 −λ3
∞∞=⋅∑ eee ⋅
n =0  nnnn1213!(−)!!
EN = ∑∑P(N ≥ n) = P(N > n) 1
nn=10= n3 n2 nnn121−
λ3 −λλλ12−−λλ
设 X 是非负随机变量, 具有分布函数 F(x), 证=⋅ee31⋅ e 2
nnnn!!()!∑−
∞∞ 3121n1 =0 
EX = (1− F(x))dx, E(X n ) = nxn−1 (1− F(x))dx (n ≥ 1)
∫0 ∫0 ==PN()()33 n PN 1 += N 22 n
证明: 得证.
(1)
∞∞n (4) 求 E()NN+ N 及 E()NNN+ .
ENnPNn====∑∑∑() PNn () 11 2 121
nnm===011 EN()11 N+= N 2 n
∞∞n +∞
===≥PN() n PN () n =⋅kPN() =+= kN N n
∑∑∑∑ 112
mnm==11 n = k =0
∞∞ nλ n−1 (1)!n −
=>+=>PN(1)() n PN n =⋅1 λλknk−−1
∑∑ n ∑ 12
nn==10 ()λλ12+ k =0 kn!(−− k 1)!
得证. nnλλ
=⋅+=11()λλn−1
(2) n 12
()λλ12+ λλ12+
∞
nn
EX( )=≥ xf ( x )d x ( n 1) λ11()NN+ 2
∫0 ∴+EN()=11 N N 2
∞ x λλ12+
n−1
= nyd()d y f x x EN() N N
∫∫00 121+

∞∞
n−1 =+E()()NN11 ENN 21
= f ()dxxnyy d
∫∫0 y
=+NEN12()
∞
n−1
=−nx(1 F ( x ))d x =+N12λ
∫0
得证. 5. 设 X , X ,
, X ,
独立同 0−1 分布, 且有 P(X = 1) = p
1 2 n n
= 1− P(X n = 0), 0 < p < 1 . N 是参数为λ的 Poisson 分布, 且与
3. 设 N1, N 2 , N3 独立, Ni 是参数为λi 的 Poisson 分布, i = 1,2,3.
N
(1) 求 P(N + N = n), n ∈ N; {X n} 独立. ξ= X i , 求ξ的分布, Eξ及 Dξ.
1 2 ∑i=1
∞∞
P(N1 + N2 = n) Nn
∵∪{}{ξ= kNnXkNnXk== ,ii === }{ ∪, = }
n nn==00∑∑ii==11
= P(N = k, N = n − k) ∞
∑ 1 2 n
k =0
∴==Pk()ξ PNnXk ( = ,i = )
n ∑∑i=1
n=0
= P(N = k)P(N = n − k) k