牛顿动力学方程 （上）.doc

牛顿动力学方程(上)
(参阅教材第一章;第三章)

(见§.)
(参阅§.-§.)均由牛顿动力学方程导出
(作为复习可阅读11,13,16页)
(参阅§.-§.)
(自行复习)
*(参阅§)

:力场中力的作用线保持通过一固定点(力心),质点的矢径
为径向单位矢量。
注意:这里与力的大小含义不同。事实上是中心力在径向单位矢量上的投影。> 0 对应于斥力; < 0 对应于引力。
中心力场的特点:中心力场可以表为: 是的数量函数。
角动量守恒: 中心力场的力矩
即从而得到角动量守恒:(即面积速度守恒)
平面运动: 由角动量守恒得
所以在中心力场中的质点必在平面内运动。因而可采用平面极坐标。从而
角动量守恒可表为或(为2倍面积速度)
:
,或
或变换到球坐标
其中:,,,或
(请同学们自行计算,。)
于是就得到:
:上述两方面条件都要满足,即,即势能只与有关:
,
思考::;:;:;在以上三者中,已知其中两者成立,能否推出另一者也成立?
(参阅70—71页)
动力学微分方程:
对上面的微分方程组积分,得到,消去得到轨道方程。具体做,可利用守恒定律(初积分):从(1)得角动量守恒, (是面积速度的两倍,)
. (3)
在(2)中消去,得的微分方程,求另一个初积分,得能量守恒,
(4)
其中第二项为离心势能,二、三两项之和为有效势能。
进一步对(3)和(4)式进行积分(参阅教材(2。7)—(2。9)式)可得运动方程:
和轨道方程:
【思考】1.(5)(7)式中的号怎样确定?(6)式中应该有号吗?
。
另一种方法:利用比耐()公式直接求轨道方程,然后求运动方程。(见教材80页)具体方法如下: 利用可将运动微分方程(2)中的消去.(并记)事实上,



于是得到比耐公式(轨道微分方程): (8)
方程(8)中的应满足中心力的要求,但不限于有势力。
积分此微分方程即得到轨道方程或进一步可利用角动量守恒求得运动方程。在中心力有势的条件下,能量积分可由(4)式经变量代换得到:(也可由比耐公式(8)积分得到)
(9)
;(不仅要会定量计算,分析结果的物理意义,也要会分析得到一些定性的结论)
不变号:得到的单调性(增或减随坐标的不同选择而定。)
面积速度守恒(本质就是角动量守恒)
: 由于角动量守恒,很容易得到满足的一维方程(利用(3)式消去(2)式中的)
转变点和轨道的有限性和无限性;
可以由取值的范围判断轨道的有限与无限;
轨道伸向无限。
轨道限制在某一环域内。
也可由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限;
质点不可能到无限远处(束缚态)
质点可以到无限远处(散射态)
*轨道的封闭性的讨论(见71—72页)。
*中心势场中粒子运动轨道的稳定性(见§.)
【例】与距离成反比的中心势场
(牛顿引力势和库仑静电势均属此。)分为两种情况:“+”对应于排斥势,“—”对应于吸引势。下面我们首先讨论吸引势。万有引力就是一个实例引力势
其中:太阳质量; :行星质量; :万有引力常数; 太阳的高斯常数(注意:这里我们设定∞处的势能值为零)
(必有一负的极小值)得到对粒子运动情况的定性描述(由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限)。(见74—75页)
2. 利用比耐公式:
解得: 或
其中为积分常数,这是圆锥曲线,力心位于一个焦点。适当选择极轴,使, 与圆锥曲线的标准方程相比较可得:
半通径, 偏心率
也可利用由能量积分得到的(7)式推导轨道方程(见76页)并与圆锥曲线的标准方程相比可得:,
讨论轨道曲线的几何参数和动力参数之间的关系。(76—77页) 与圆锥曲线的标准方程相比较就可得到物理参量和几何参量之间的关系:
或
当,,轨道为椭圆。与直角坐标系中的椭圆标准方程
相比较,可得:
,
,
当,轨道为抛物线;当,轨道为双曲线。三类轨道的主要特性,列表比较如下: 轨道的分类:
双曲线抛物线椭圆(圆)

( )
当

(半实轴) (焦顶距) (半长轴)