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§13-3 刚体对轴的转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性的度量,其
表达式为
2
J z = ∑ mi ri
如果刚体的质量是连续分布的,则上
式可写为积分形式
2
J z = r dm
∫m
转动惯量为一恒正标量,其值决定于轴的位
置、刚体的质量及其分布而与运动状态无关。

(1)长为l,质量为m的均质细长杆,如上图a所示,对于
过质心C且与杆的轴线相垂直的z轴的转动惯量为
l 2 m 1
m m 2 2 2
J z = x dx = ml
dx ∫−l 2 dx ⋅ x
l l l 12
如上图b所示,对于过杆端A且与z轴平行的z1轴的转动惯量为
l
m 2 1 2
J z1 = x dx = ml
∫0 l 3
(2)均质矩形薄板的边长为a与b,质量为M(如下图所示),
对于y轴的转动惯量 y
1 1 1
J = ∑∆ma 2 = a 2 ∑ m = Ma 2
z 3 3 3
同理可得矩形薄板对x轴的转动惯量 b
1
J = Mb 2 O
z 3 a x
(3)均质细圆环的半径为R,质量为M(如下图所示),对
于垂直于圆环平面过中心O的z轴的转动惯量 y
2 2 2
J z = ∑∆mR = R ∑∆m = MR
R
O(z) x
(4)半径为R,质量为m的均质薄圆盘,如下图所示,对于
过中心O与圆盘平面相垂直的z轴的转动惯量。
图中所示圆环的质量为
m 2m
dm = 2πrdr = rdr
πR 2 R 2
此圆环对于z轴的转动惯量为
2m
r 2 dm = r 3dr
R 2
于是整个圆盘对于z轴的转动惯量为
R
2m 3 1 2
J z = r dr = mR
∫0 R 2 2

定理:刚体对于任一轴的转动惯
量等于刚体对于通过质心、并与该轴
平行的轴的转动惯量,加上刚体的质
量与两轴间距离平方的乘积。即
2
J z′= J zC + md
证明:如图所示,设C为刚体的
质心,刚体对于过质心的轴z的转动
惯量为
2 2 2
J zC = ∑ mi ri = ∑ mi (xi + yi )
对于与z轴平行的另一轴的转动惯量为
2 2 2
J z′= ∑ mi ri′= ∑ mi (x'i + yi′)
由于 xi′= xi , yi′= yi + d
于是上式变为
2 2 2 2 2
Jz′=∑mi[xi +(yi +d) ]=∑mi[xi + yi +2dyi +d ]
2 2 2
=∑mi (xi + yi )+2d∑mi yi +d ∑mi
2 2 2 2 2
J z′= ∑ mi [xi + (yi + d) ]= ∑ mi [xi + yi + 2dyi + d ]
2 2 2
= ∑ mi (xi + yi ) + 2d ∑ mi yi + d ∑ mi
式中
∑ mi yi = myC = 0
于是得
2
J z′= J zC + md
在应用时注意以下几点:
(1)两轴互