宁夏--平面向量数量积的物理背景及其含义（马海军）.doc

《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案
授课教师:宁夏银川唐徕回民中学马海军
课题:§ 平面向量数量积的物理背景及其含义
教材:普通高中课程标准实验教科书(人教A版)数学必修4
一、教学目标
1、了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义;
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算;
3、体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
二、教学重、难点
教学重点:1、平面向量数量积的含义与物理意义
2、性质与运算律及其应用
教学难点:1、平面向量数量积的概念
2、平面向量数量积的运算律(2)、(3)的证明
三、教学过程
活动一:创设问题情景,引出新课
1、提出问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?
期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?
期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:
平面向量数量积的物理背景及其含义
活动二:探究数量积的概念
S
F
α
1、给出有关材料并提出问题3:
(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移S,
那么力F所做的功:W= |F| |S| cosα。
(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空:
①W(功)是量,
②F(力)是量,
③S(位移)是量,
④α是。
(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
数量积的定义:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积(或内积),记作:·,即:·= ︱︱·︱︱cos
(2)定义说明:
①记法“·”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“”代替。
②“规定”:零向量与任何向量的数量积为零。
3、提出问题4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?
期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅和向量与的模有关,还和它们的夹角有关。
4、学生讨论,并完成下表:
的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
5、研究数量积的几何意义
(1)给出向量投影的概念:
如图,我们把││cos(││cos)
叫做向量在方向上(在方向上)的投影,
记做:OB1=︱││︱cos
(2)提出问题5:数量积的几何意义是什么?
期望学生回答:数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影
︱︱cos 的乘积。
6、研究数量积的物理意义
(1) 请同学们用一句话来概括功的数学本质:功是力与位移的数量积。
(2)尝试练习:一物体质量是10千克,分别做以下运动:①、竖直下降10米;②、竖直向上提升10米;③、在水平面上位移为10米; ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米;分别求重力做功的大小。 
活动三:探究数量积的运算性质
1、提出问题6:
(1)将尝