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第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理
内容介绍
知识点
 
弹性力学基本方程
边界条件
位移表示的平衡微分方程   
应力解法
体力为常量时的变形协调方程
物理量的性质
逆解法和半逆解法
解的迭加原理
弹性力学基本求解方法
位移解法
位移边界条件
变形协调方程
混合解法
应变能定理
解的唯一性原理
圣维南原理
学****思路:
    通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
    弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
    由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。
    根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。
    上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。
学****要点：
    1. 弹性力学基本方程；
    2. 本构方程；
    3. 边界条件；
    4. 弹性力学边值问题；
首先将弹性力学基本方程综合如下：
    1. 平衡微分方程 
       用张量形式描述      
    2. 几何方程   
       用张量形式描述        
       变形协调方程 
当然，具体求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以而且必须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。
    假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。
    基于上述的理由，为简化求解的难度，选取部分未知量作为基本未知量。   
    若以位移函数作为基本未知量求解，称为位移解法；   
    若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法；   
    若以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，称为混合解法。   
    在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题， 数学上称为偏微分方程的边值问题。
    按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。   
    第一类边值问题： 已知弹性体内的体力Fbx，Fby，Fbz和其表面的面力Fsx，Fsy，Fsz，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。   
    第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量Fbx，Fby，Fbz以及表面的位移分量， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为位移边界条件。   
    第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量Fbx，Fby，Fbz，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称为混合边值问题。   
    以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。
4．边界条件：   
    如果物体表面的面力Fsx，Fsy，Fsz为已知，则边界条件应为：
称为面力边界条件，用张量符号表示为
    如果物体表面的位移已知，则边界条件应为
称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。
    综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。
    这里没有考虑变形协调方程，原因是位移已经作为基本未知量。对于任意的单值连续的位移函数，如果设其有三阶的连续导数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果，自然地满足，所以位移作为基本未知量时，不需要考虑变形协调方程。
    要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。 
    弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。
位移解法