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第二章 有限元基础理论
§1基础概念
这一节介绍泛函分析部分基础知识。
1）线性空间
定义1（线性空间） : 设 是一个非空集合, 对集合中元素定义了两种运算
加法: , 在 中全部存在一个元素和它们对应, 称为它们和, 记作 ;
数乘: 和任意实数 , 在 中全部存在一个元素和它们对应, 称为这二者数乘, 记作 。
加法满足下列规则:
（a）交换律:
（b）结合律:
（c）在 中存在惟一一个元素 , 使得 , 全部有
。 这个元素称为 中零元素
（d）, 在 中存在惟一一个元素, 记作 , 使得
。 这个元素称为 负元素, 并能够定义
减法
数乘满足下列规则:
（a）对加法分配律:
（b）对数乘分配律:
（c）结合律:
（d）, 全部有
此时, 称集合 是一个线性空间。
例:
维（实）向量空间
（注）实数集 作为一维向量空间, 也是线性空间。
全体实函数集合
全体连续函数集合 , 或记作
全体有直到 阶连续（偏）导数函数集合
全体有任意阶连续（偏）导数函数集合
全体（实系数）多项式集合
次数不超出 次全体（实系数）多项式集合
（注） 表示函数定义域。
线性空间是向量空间推广。 所以, 向量空间很多概念全部能够推广过来, 比如:
元素线性组合: 设一组元素 , 一组实数
, 则称
为这组元素线性组合。
线性相关: 设 , 若存在一组不全为零实数 , 使得
线性无关: 设 , 若只有当 全为零时才有
基: 若在 中存在一组元素 , 使得 中任何一个元素全部能够表示成它们线性组合, 则称这组元素是空间 一组基。
空间维数: 设 是空间一组基, 若这组元素只有有限多个, 即 , 则空间 称为有限维空间, 这组元素个数 称作空间维数, 记作 ; 若这组元素有没有穷多个, 则空间 称为无限维空间, 记作 。
（注）空间能够有多组基, 但空间维数和基选择无关。
子空间（线性子空间）
由一组元素张成子空间: 设 , 则空间 子集合
是这组元素线性组合
组成空间 子空间, 称作由元素
张成子空间。
例:
维（实）向量空间 是有限维空间,
次数不超出 次全体（实系数）多项式集合 是有限维空间,
函数集合 、 （）全部是无限维空间
多项式集合 是无限维空间
定义2（乘积空间） : 设 和 是两个线性空间, 定义集合 , 并对其中元素要求加法和数乘运算
加法:
数乘:
则 组成一个线性空间, 称作 和 乘积空间, 记作
。
（注）能够定义多个空间乘积空间。
一个空间自己和自己乘积空间可用幂来表示, 比如
所以, 维（实）向量空间 又能够解释为实数空间乘积空间。
2）距离空间
定义3（距离空间） : 设 是一个非空集合, 对集合中元素定义了距离:
, 全部存在一个实数和它们对应, 称为它们距离, 记作 , 并满足:
（a）对称性:
（b）正定性: , 当且仅当 时
（c）三角不等式:
则称集合 是一个距离空间。
例:
实数集 , 定义距离
向量空间 , 定义距离
,
（注）在同一集合上定义不一样距离, 则组成不一样距离空间。
连续函数集合 , 定义距离
引入距离, 可为开展多种分析定义一个最基础概念——极限。
定义4（极限） : 设 是距离空间 中一个元素序列, 若存在元素 , 使得 , 则称这个元素序列收敛, 而元素 称为这个序列极限。
性质1 : 收敛序列极限是惟一。
定义5（Cauchy序列） : 设 是距离空间 中一个元素序列, 若 , 全部存在自然数 , 使得 , 全部有 , 则称这个元素序列是一个Cauchy序列。
性质2 : 收敛序列一定是Cauchy序列。
对于实数集, 性质2反过来也是成立, 即: Cauchy序列一定是收敛序列。 不过在通常距离空间上就不一定了。 比如
有理数集 , 仍定义距离 , 序列
全部是Cauchy序列。 作为实数序列, 它们也全部是收敛序列, 极限分别是 和 。 不过这两个极限值全部不是有理数, 所以作为有理数序列, 它们全部没有极限。
区间 上一元连续函数集合 , 定义距离
考虑连续函数序列 , 其中
能够验证, 这个函数序列是一个Cauc