ADI交替方向隐格式.docx

ADI算法的MATLＡＢ编程应用实例
胡坤1 ，任兰兰2
1。ADI算法的具体描述
ＡDI算法又称交替方向隐格式，该算法主要考虑二维热传导方程的边值问题,模型如下：
在上述模型中,取空间步长，时间步长，作两族平行于坐标轴的网线：将区域分割成个小矩形。
具体步骤是将第ｎ层到第n＋１层计算分为两步:
第一步:　,构造出差分格式为：
第二步：，构造出差分格式为:
其中
假定第ｎ层的已求得，则由上述第一步可求出，这只需按行解一些具有三对角系数矩阵的方程组;再由第二步求出，这只需按列解一些具有三对角系数矩阵的方程组。
２．以AＤＩ算法分析具体实例
(1)考察例子
上述方程精确解为:)
（2）分析计算过程
首先设差分解为,则边值条件为:
初值条件为：．
取空间步长,时间步长网比，用ADI法分别计算到时间层。
根据边值条件:，已经知道第０列和第K列数值全为0，故：
第一步：
，构造出差分格式为：
从而得到：
,其中
即按行用追赶法求解一系列下面的三对角方程组：
又根据边值条件得：，解出第0行和第行。
第二步:

从而得到:
其中
又根据边值条件得：,从而得到:
其中
再按列用追赶法求解一系列下面的三对角方程组:
从而得到新的时间层的数值解.

cleａｒ
clc
a　= 0; b=1; 　%x取值范围
c＝0; d=１; 　 ％ｙ取值范围
tfiｎal = 1; %最终时刻
t=1/１600；％时间步长；
ｈ＝１/４0；%空间步长
ｒ=ｔ/h^2；％网比
x＝a：h：b；
y=ｃ：h：d;
%-————-－———-——-－—-－—－－—－－－-—--—－—-——-－－－-—-—-－---－-——－——－－-—-———--
％精确解
m=４０；
u1=zeros（ｍ+1，m+1）；
fｏｒ ｉ=1:m＋1,
　 for　j＝1:m+1
　 u1（j,i） = ueｘact(x(i),ｙ(j），1)；
eｎd
eｎｄ
％数值解
u=ADI(a,b，c，ｄ,ｔ，h，tfｉnal）；
%—-—-——-—--——－－-———-———－－—－－－－－－--—－———-－－————－———－——－-－——----－－——
％绘制图像
fiｇurｅ（1）； mesh（x，ｙ,u1)
fｉｇure(２）；　mｅsh(x,ｙ，u）
％误差分析
ｅrror＝u－u1;
ｎｏrm1＝nｏrm（errｏr，1）;
norm2=norm（erroｒ，２）;
noｒm00=norm(errｏr，inｆ);
%——----－－—－----—-—-—－—--—--————--——-——－-———-－—－-——－——-－-－-—————－-
编写ADI函数文件
％　用ADＩ法求解二维抛物方程的初边值问题
% u_t = 1/1６(u_｛ｘx}　+ u_{ｙy｝）（０，１)＊（0,1) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
% 精确解： u（ｔ，x,y） = sin(ｐi＊x）　ｓin(pi*y)eｘp(—pi*pｉ*ｔ／8) 　
%——-－—-—－-－—-－-—-———-——————－—-———－-－———－－—————－——－—-－—－-－-－－——--——
　ｆｕnctｉon [u]＝ADI（a,b，c，d,ｔ,ｈ,tｆｉnａl　)
%(ａ　， ｂ） x取值范围
%（c,　d) y取值范围
％ｔfinal最终时刻
%t时间步长；
％ｈ空间步长
ｒ=ｔ/h^2;%网比
m＝(b—a)/h;％
n=tfinａl/ｔ;　％
ｘ=a：ｈ:b;
y=c:h：d;
%－－－-－————－——－--－-—-—-－—－-－-—-－-－-－--－—--－—－—－--－—--——-—----—-—－—---—
％初始条件
u=zeｒos（m+1，m+1）;
for ｉ＝1：m+1，
ｆｏr j＝1:m+1
　 　 ｕ（j，ｉ） = uexａcｔ（ｘ(ｉ）,ｙ(j），０);
　ｅnｄ
end
％－—－——-—-—-——--—－-—-－－--－－-－-——-—--——————--——-－——-—-—－－-－——－—--－－－—-
u2=zｅros（ｍ+１,m+１）；
ａ＝-１/3２*ｒ＊oneｓ(1,ｍ-2）;
ｂ＝（1+r／１6)＊