2021年5.4正定二次型新.ppt

、正定二次型
则称f 为正定二次型.
如，二次型
是正定的；
不是正定的．
但二次型
一组不全为零的实数
都有
1、定义：实二次型
若对任意
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2、正定性的判定
1）实二次型 正定
2）设实二次型
f 正定
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
则
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经过非退化线性替换 X＝CY 化成
则
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.
任取一组不全为零的数 令
设正定二次型
证明：
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所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.
又由于C可逆，
，所以
同理，若 正定，则 正定.
反之，实二次型
可经过非退化
不全为0.
即
线性替换
变到实二次型
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秩 ＝n＝ （ 的正惯性指数）.
4）(定理5) n元实二次型
正定
证：设
经非退化线性替换
变成标准形
由2), 正定
即， 的正惯性指数p＝n＝秩 .
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规范形为
5）正定二次型　　　　　　 　的标准形为
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二、正定矩阵
1、定义 设A为实对称矩阵，若二次型
正定二次型的规范形为
是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
2) 实对称矩阵A正定
1）实对称矩阵A正定    A与单位矩阵E合同.
A与E合同,即存在可逆矩阵C，使
可见，正定矩阵是可逆矩阵.
存在可逆矩阵C，使
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3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同.
即，D与E合同.
为任一正对角矩阵，则
若
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例1、设 A 为 n 级正定矩阵，证明
（5）若　B　亦是正定矩阵，则　A＋B　也是正定矩阵；
（2）　　　　是正定矩阵；
（1） 是正定矩阵；
（3）　是正定矩阵；
（4） 是正定矩阵（m为任意整数）；
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证：
（1）由于　A　正定，则存在可逆矩阵　P，使
于是有，
故 正定.
令
即 与单位矩阵E合同.
则Q可逆，且
（1） 是正定矩阵；
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