2021年71紧致空间.ppt

设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间．
注：每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然．
一、紧致性及其刻画
例如 包含着无限但可数个点的离散空间是一个
Lindelöff空间,但它不是一个紧致空间．
71 紧致空间
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　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集, 如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集．
　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．
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Y
X
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因此 有一个有限子覆盖,设为
{　　　　　　　 　 },
证明：必要性 设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,
A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．
A
则容易验证集族　　　　　　　　也是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成.
于是 A 的有限子族　　　　 　覆盖Y．
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此时易见A 的子族{　　　　｝覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．
充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．
则对于每一个A∈A 存在X中的一个开集　 使得A=　 ∩Y．
设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．
因此　　　　 　是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{　　　　　　}
A
图
继续
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Y
X
A
UA
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这是因为如果设A＝{(－n，n) R | n∈Z+},则A的任何一个有限子族
　　{　　　　　　　　　　　　} ,由于它的并为
　　(-max{　　　　},max{　　　　})
所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖．
实数空间R不是一个紧致空间．

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例 有限补空间（X,T ）为紧致空间．
是一个有限集，所以A 的子族
也是有限的，易见它也覆盖X．
因此，包含着有限补空间是紧致空间。
证：设A是它的一个开覆盖．任意在A 中取定一个非空集合A．（不妨设A≠Φ、X），则X-A为有限集，记为
对于每一个 在A中选取一个
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例 平庸空间（X,T ）为紧致空间．
例 设（X,T ）为离散空间，
则X为紧致的
包含着无限但可数个点的离散空间是一个
Lindelöff空间,但它不是一个紧致空间．
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设X是一个拓扑空间．则X是一个
紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质
的闭集族都有非空的交．

设A 是一个集族．如果A 的每一个
有限子族都有非空的交（即如果A1是A 的一个
有限子族，则　　　　　），则称A 是一个具有
有限交性质的集族．
A1
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