2021年第一节导数的概念.ppt

如果物体作直线运动，
在直线上选取坐标系，
该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数，记为
s = s(t)，
则从时刻 t0 到 t0 + t 的时间间隔内它的平均速度为
一、瞬时速度 曲线的切线斜率
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在匀速运动中，
这个比值是常量，
但在变速运动中，它不仅与 t0 有关，
而且与 t 也有关，
很小时，
与在 t0 时刻的速度相近似.
如果当 t 趋于 0 时，
平均速度 的极限存在，
则将这个极限值记作 v (t0)，
叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度，简称速度，
即
当 t
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定义　设点 P0 是曲线 L 上的一个定点，
点 P 是曲线 L 上的动点，
T
P0
P
x0
x0+x
y
O
x

N

当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时，
如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在，
则称直线 P0 T 为曲线 L 在点 P0 处的切线.
设曲线方程为 y = f (x).
在点 P0(x0, y0) 处的附近取一点 P(x0 + x , y0 + y ) .
那么割线 P0 P 的斜率为
L
x
y
y = f (x)
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如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在，
即点 P0 处的切线存在，
此刻 x  0，  ，
割线斜率 tan  趋向切线 P0 T 的斜率 tan ，
即
T
P0
P
x0
x0+x
y
O
x

N

L
x
y
y = f (x)
切线定义
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定义　设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内有定义.
在 x0 处给 x 以增量 x (x0 + x 仍在上述邻域内)，
函数 y 相应地有增量
y = f (x0 + x ) - f (x0) ，
二、导数的定义
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则称此极限值为函数y = f (x)在点 x0 处的导数.
即
此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导.
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例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1).
解 第一步求 y ：
y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12
= 2x +(x)2 .
第三步求极限：
所以， f (1) = 2.
第二步求 ：
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函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义
就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0)) 处的切线的斜率,
即
tan  = f (x0).
y
O
x
y = f (x)

x0
P
三、导数的几何意义
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法线方程为
其中 y0 = f ( x0).
y - y0 = f ( x0)(x - x0) .
由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为
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例 2　求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程.
解　从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率为 2 ，
所以, 切线方程为
y – 1 = 2(x - 1).
即
y = 2 x - 1.
法线方程为
即
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