2021年递归与回溯算法.ppt

递归的定义：
在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函数的成分，称为递归。若调用自身，称为直接递归。若过程或函数p调用过程或函数q，而q又调用p，则称为间接递归。
在程序设计中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。
递归的使用：

Function jiech(n:integer):longint;
Begin
if n=0 then jiech:=1
else jiech:=n*jiech(n-1);
End;
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递归与回溯算法
2021/1/15
Function fib(n:integer):longint;
Begin
if(n=0)or(n=1)then fib:=1
else fib:=fib(n-1)+fib(n-2);
End;
爬楼梯时可以1次走1个台阶，也可以1次走2个台阶。对于由n个台阶组成的楼梯，共有多少种不同的走法？
1个台阶：只有1种走法；
2个台阶：有两种走法；(1+1；2)
N个台阶(n>2)，记走法为f(n)：
第1次走1个台阶，还剩(n-1)个台阶，走法为f(n-1)；
第1次走2个台阶，还剩(n-2)个台阶，走法为f(n-2)。
所以，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
定义f(0)=1，则有：
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递归与回溯算法
2021/1/15
，采用递归的方法编写算法既方便又有效。如单链表：
Type
node=^lnode
lnode=record
data:integer;
next:node;
end;
求一个不带头结点的单链表head的所有data域之和的递归算法如下：
Function sum(head:node):integer;
Begin
if head=nil then sum:=0
else sum:=head^.data+sum();
End;
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递归与回溯算法
2021/1/15

例：整数划分问题（版本1）
为避免重复，记
设f(n,k)为把正整数n分成k份的分法，那么：
先考虑特殊情况：
f(n,1)=1 (n=n)
f(n,n)=1 (n=1+1+……+1)
当k>n时， f(n,k)=0
(4)若n1=1，则：
　其分法为f(n-1,k-1)；
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递归与回溯算法
2021/1/15
(5)若n1>1,则
其分法为f(n-k,k)。
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递归与回溯算法
2021/1/15
整数划分问题（版本2）
在正整数n的所有不同的划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。我们可以建立如下的递归关系。
(1) q(n,1)=1, n>=1；
当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，即：
　 n=1+1+……+1。
(2) q(n,m)=q(n,n)，m>=n；
最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。
(3) q(n,n)=1+q(n,n-1)；
正整数n的划分有n1=n的划分和n1<=n-1的划分组成。
(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)，n>m>1;
n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成。
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递归与回溯算法
2021/1/15
Function q(n,m:integer):integer;
Begin
if(n<1)or(m<1) then exit(0);
if(n=1)or(m=1) then exit(1);
if n<m then exit(q(n,n));
if n=m then exit(q(n,m-1)+1);
exit(q(n,m-1)+q(n-m,m));
End;{正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。}
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递归与回溯算法
2021/1/15
递归过程或函数直接（或间接）调用自身，但如果仅有这些操作，那么将会由于无休止地调用而引起死循环。因此一个正确的递归程序虽然每次调用的是相同的子程序，但它的参数、输入数据等均有所变化，并且在正常的情况下，随着调用的深入，必定会出现调用到某一层时，不再执行调用而是终止函数的执行。
递归思路是把一个不能或不好直接求解的“大问题”转化成一个或几个“小问题”来解决，再把这些“小问题”进一步分解成更小的“小问题”来解决，如此分解，直至每个“小问题”都可以直接解决。