§ 向量和矩阵范数
向量范数 ( vector norms )
对任意
Def 1:Rn空间的向量范数 || · || ,对任意 满足下列条件
常用向量范数:
=
=
n
i
i
x
x
1
1
|
|
||
||
v
=
=
n
i
i
x
x
1
2
2
|
|
||
||
v
|
|
max
||
||
1
i
n
i
x
x
=
v
1
:数据拟合A
2021/1/15
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:|‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数,若存在
常数 C1、C2 > 0 使得 ,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价.
Theorem
Rn 上一切范数都等价.
2
:数据拟合A
2021/1/15
Def 2:设{xk}是Rn上的向量序列,
令 xk=(xk1,xk2,…,xkn)T, k=1,2,….,
又设x*=(x1*,x2*,…,xn*)T是Rn上的向量.
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…,n成立,
那么,称向量x*是向量序列{xk}的极限 ,
若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的.
对任意一种向量范数‖·‖而言,向量
序列{xk}收敛于向量x*的充分必要条件是
Theorem
3
:数据拟合A
2021/1/15
矩阵范数 ( matrix norms )
Def 3:对任意 ,称|| · || 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| · ||满足(1)-(3):
对任意
(4) || AB || || A || · || B ||
若还满足(4),称为相容的矩阵范数
4
:数据拟合A
2021/1/15
Ex:
设A=(aij)∈M. 定义
证明:这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明:设
从而
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:数据拟合A
2021/1/15
相容性
(1)矩阵范数与矩阵范数的相容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖
(2)矩阵范数与向量范数相容
设A∈M,‖A‖是矩阵范数,x∈Rn,‖x‖是
:
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
6
:数据拟合A
2021/1/15
常用的算子范数:
由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数:
则
(行和范数)
(列和范数)
(谱范数 ( spectral norm ) )
对方阵 和 有:
(向量|| · ||2的直接推广)
Frobenius范数:
( operator norm ),又称为从属的矩阵范数:
算子范数
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:数据拟合A
2021/1/15
Theorem
对任意算子范数 || · || 有:
证明:
由算子范数的相容性,得到
将任意一个特征根 所对应的特征向量 代入
Theorem
若A对称,则有:
证明:
若 是 A 的一个特征根,则2 必是 A2 的特征根。
又:对称矩阵的特征根为实数,即 2(A) 为非负实数,
故得证。
对某个 A 的特征根 成立
所以2-范数亦称为谱范数
8
:数据拟合A
2021/1/15
Theorem
若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1,则必有
①.
可逆;
②.
证明:
① 若不然,则 有非零解,即存在非零向量 使得
②
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:数据拟合A
2021/1/15
Error Analysis for Linear system of Equations
线性方程组的性态(误差分析)
思考:求解 时, A 和 的误差对解 有何影响?
设 A 精确, 有误差 ,得到的解为 ,即
绝对误差放大因子
又
相对误差放大因子
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:数据拟合A
2021/1/15
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