2021年两圆的公切线(2).ppt

1．内公切线的概念：
在上一讲的学****中，我们已经知道：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。
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两圆的公切线(2)
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2．内公切线的性质：
3．内公切线长的计算：
如图，作O1E∥AB交O2B的延长线于E，
两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上，连心线平分两内公切线的夹角。如图(1)所示：内公切线 AB ＝CD，AB与CD的交点P在连心线O1O2上，
∠APO1＝∠CPO2 .
A
B
C
D
P
R
r
O2
O1
E
构成Rt△O1EO2，
则O2E＝R＋r，O1O2＝d，
AB＝O1E＝ 。
设⊙O1和⊙O2的半径分别为r，R，
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两圆的公切线(2)
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例2、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B．
求：公切线的长AB。
解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．　　
过 O1作O1C⊥O2B，交O2B的延长线于C，
则O1C= AB，O1A=BC．
在Rt△O2CO1和．　　
　O1O2=10，O2C= O2B+ O1A=6
　∴O1C= (cm)．
∴AB=8（cm）
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两圆的公切线(2)
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4．范例解析：
例1 要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。
O2
O1
C
B
A
P
D
E
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两圆的公切线(2)
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连结O1O2、O1A、O2B，过O1作O1C∥AB交O2B延长线于C，则O1A⊥AB，O2B⊥AB，四边形AO1CB为矩形。
例2 已知⊙O1与⊙O2的半径之和等于8cm，两圆的一条内公切线长为6cm，求这两圆的圆心距。(如图)
解：
∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC
∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm
∴O1O2＝ ＝10(cm)
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两圆的公切线(2)
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可知 ＝     ，
O1Q
O2Q
O1B
O2A
分析：
例3 如图5，已知⊙O1和⊙O2的内公切线CD和外公切线AB分别与连心线O1O2相交于P、Q，
直接证明这个比例式较困难，
为此先看比 ，
O1P
O2P
因此可得 ＝ ，
O1P
O2P
O1C
O2D
注意CD为内公切线，
连O1C、O2D可得O1C∥O2D，
O1P
O2P
O1Q
O2Q
求证： ＝ .
连O1B、O2A可得O1B∥O2A，
而O1C＝O2B，O2A＝ O2D，
同样注意 和AB为公切线，
O1Q
O2Q
得 ＝ ，故可以得证 .
O1C
O2D
O1B
O2A
O2
O1
A
B
C
D
Q
P
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两圆的公切线(2)
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证明：连结O1C、O1B、O2A、O2D
∴ ＝ ，
O1P
O2P
O1C
O2D
∵CD为⊙O1和⊙O2的内公切线
∴O1C⊥CD，O2D⊥CD
∴O1C∥O2D
∴O1B⊥AB，O2A⊥AB
又∵AQ为⊙O1和⊙O2的外公切线
∴O1B∥O2A
∵O1C＝O1B，O2D＝O2A
∴ ＝
O1Q
O2Q
O1A
O2B
∴ ＝ .
O1P
O2P
O1Q
O2Q
O2
O1
A
B
C
D
Q
P
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两圆的公切线(2)
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本讲着重介绍了求内公切长的方法、内公切线的性质、内公切线的作法以及内公切线条数与两圆位置之间的联系，这些都是有关内公切线的基本知识，应当认真体会，确实掌握好。 内公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质，例如内公切线垂直过切点的半径。在解答有关内公切的问题时，常常要连结圆心和切点，得出垂直关系，并且据此可以推出两圆外切时，内公切线垂直连心线。 如果两圆外切或内切时