清华大学2016自主招生暨领军计划试题解析版.docx

清华大学2016自主招生暨领军计划试题解析版.docx2016 年清华大学自主招生暨领军计划试题
1. 已知函数 f ( x)
( x2
a)ex 有最小值，则函数
g (x) x2
2x a 的零点个数为（
）
A. 0B.
1
C.
2
D.
取决于 a 的值
答案： 注意 f / (x)
ex g( x) ，答案 C.
2. 已知 ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c . 下列条件中， 能使得
ABC 的形状唯
一确定的有（
）
A. a
1, b
2, c Z
B. A
1500 , a sin A
c sin C
2a sin C
b sin B
C. cos Asin B cosC
cos( B
C ) cos B sin C 0,C 600
D. a
3, b
1, A
600
答案： 对于选项 A，由于 | a
b |
c a
b ，于是 c 有唯一取值
2，符合题意；
对于选项 B，由正弦定理，有
a 2
c2
2ac b2 ，可得 cos B
2 , B
1350 ，无解；
2
对于选项 C，条件即 cos Asin( B
C )
0 ，于是 ( A, B,C ) (900 ,300 ,600 ), (600 ,600 ,600 ) ，
不符合题意；
对于选项 D ，由正弦定理，有 sin B
1
，又 A
600 ，于是 B
2
答案： AD.
3. 已知函数 f ( x) x2 1, g( x) ln x ，下列说法中正确的有（
f (x), g( x) 在点 (1,0) 处有公切线
存在 f (x) 的某条切线与 g (x) 的某条切线平行
f ( x), g ( x) 有且只有一个交点
f ( x), g ( x) 有且只有两个交点

300 ,C 90 0 ，符合题意 .
）
答案： 注意到 y x 1为函数 g( x) 在 (1,0) 处的切线，
如图，因此答案 BD.
4. 过抛物线 y2
4x 的焦点 F 作直线交抛物线于
A, B 两点， M 为线段 AB 的中点 . 下列说
法中正确的有（
）
A. 以线段 AB 为直径的圆与直线 x
3
一定相离
2
| AB |的最小值为 4
| AB |的最小值为 2
BM 为直径的圆与
y 轴一定相切
答案： 对于选项 A，点 M 到准线 x
1的距离为
1 (| AF | | BF |)
1 | AB | ，于是以线段 AB 为直径的圆与直线
x
1 一定相切，进而与
2
3
2
直线 x
一定相离；
2
1
1
1
对于选项 B,C，设 ( 4
2 ,4
)
,
2
A
a
a ，则 B(
4a2
a ) ，于是 | AB | 4a
4a 22 ，最小值为 4.
也可将 | AB | 转化为 AB 中点到准线的距离的
2 倍去得到最小值；
对于选项 D，显然 BD 中点的横坐标与
1
| BM |不一定相等，因此命题错误 .
2
答案： AB.
5.
已知 F1 , F2 是椭圆 C : x 2
y2
1(a
b
0) 的左、右焦点， P 是椭圆 C 上一点 . 下列说
a 2
b2
法中正确的有（
）
A. a
2b 时，满足
F1PF2
90 0 的点 P 有两个
B.
a
2b 时，满足
F1 PF2
900 的点 P 有