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揭开创新题的“面纱”
一、考点***
近年来，随着高考形势的不断变化，对考生的创新意识和创新能力的要求逐渐提高，每年在高考试题中都相继推出一些背景新颖、构思精巧、情境别致，具有相当深度和明确导向的创新题型，使高考数学题充满活力和魅力，它要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”，只要我们相信一个原则：千变万变，方法不变．创新题只是对以前的问题稍加“化妆”，以一个崭新面目出现在我们面前，使我们乍看其脱俗超群，但只要我们努力揭开题目的“面纱”，便可识别其“真面目”，仍可用旧知新解．
二、考点例析
创新方向一：定义“新概念”或“新运算”型
新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．
例1 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 （ ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
分析：按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．
解：C选项原信息为011，则，，所以应该接收信息10110．故选C．
评注：在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．
趁热打铁：
（2009北京）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
解：符合题意的集合是：.
创新方向二：类比型
给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的．类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三，触类旁通的应变．
例2 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知R，，求证，
证明：构造函数，
.
因为对一切R，恒有≥，所以≤,
从而得，
（1）若R，，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
分析：这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．
（1）解：若R，，
求证：；
（2）证明：构造函数
.
因为对一切R，都有≥，所以△=≤,
从而证得：．
评注：对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：，由≥，得≤，就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明．构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合．
趁热打铁：
（2009浙江）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列
的前项积为，则， ， ，成等比数列．
解：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．应填
创新方向三：高等数学与初等数学的衔接型
将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点．
例3 定义如下运算：
其中N*）．
现有个正数的数表排成行列如下：（这里用表示位于第行第列的一个正数，N*）
，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，若，，．求的表达式（用，表示）；
分析：本题数列中的每一项都有两个下标，在中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出