全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸最优设计.doc

易拉罐形状和尺寸的最优设计
摘要
本题在建立数学模型的基础上，用LINGＯ实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，,易拉罐的设计不但要考虑材料成本(造价）,还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求.
在第二个问题中,易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准,得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同,建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同,最优设计方案为半径与高的比(为圆柱的高,为圆柱的半径)；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍,通过计算得到半径与高时,，当顶盖、底部厚度是罐身的倍时,最优设计方案为。
在第三问中,针对圆柱加圆台的罐体,本文也建立了两个模型:模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LＩNGO软件对模型进行分析,得出当（为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四,假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的３倍，同样利用软件ＬＩNGO对其进行分析,得出
，时材料最省，即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时,不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上,加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较,发现模型四的结论更优。为此,将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2。，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。
最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验——在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势;同时,通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用.
关键词：易拉罐 　最优设计 材料体积 liｎgo软件
文中符号注解
R:圆柱半径
r：圆台半径
H:圆柱高
h:圆台高
Ｓ:易拉罐表面积
Ｖ：易拉罐体积
MＩN：最小化
为方便在ＬIＮＧO软件中计算，定义:
X1:在软件LIＮGO中的圆柱半径（Ｒ）
X2:在软件LIＮGO中的圆柱高（H）
X3：在软件LＩNGO中的圆台半径（ｒ）
Ｘ4:在软件LINGO中的圆台高（h）
第一问：取一个饮料量为３５5毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们以为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等,并把数据列表加以说明：如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
表1：数据测量结果
1(mｍ)
２（mm)
3（mm)
４(mｍ）
平均(mｍ）
D１（罐盖直径)
57．84
５8．30



D2（罐身直径)

65．56
６5．5１
6５．58

Ｄ３（罐底直径)
４７。５6
4７。62
47。１８

47。53
X1(罐盖厚度）
0。314
０。30２
0．315

0．310
X2(罐身厚度)
0．10８
0。11０

０．110

X3(罐底厚度)

0。３20

０．３4４
0。33３
H1（罐盖高度)
10。30
10．98
10。４2
９。96

Ｈ２（罐身高度）



101．9２
10２。08
H3(罐底高度）




５．23
L（罐盖斜边长度）

０。204
０。21０

0。2０２
拉环长度
42。53


42．51
42．50
注:数据由测量可口可乐355ml易拉罐所得。
本文测量以上数据是为了在以下建模中,提供数据和验证结果。重要的是,，。
第二问 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸,例如说,半径和高之比，等等.