2021年蒙特卡罗方法在随机数中的应用.ppt

第二章 随机数
由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特卡罗方法中占有非常重要的地位。总体和子样的关系，属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关系。由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由简单子样中若干个性近似地反映总体的共性。
随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当的数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子样。
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
什么是随机数？
单个的数字不是随机数
是指一个数列，其中的每一个体称为随机数，其值与数列中的其它数无关；
在一个均匀分布的随机数中，每一个体出现的概率是均等的；
例如：在[0,1]区间上均匀分布的随机数序列中，
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
随机数应具有的基本特性
考虑一个对高能粒子反应过程的模拟：需用随机数确定：
出射粒子的属性：能量、方向、…
粒子与介质的相互作用
对这一过程的模拟应满足以下要求（相空间产生过程）：
出射粒子的属性应是互不相关的，即每一粒子的属性的确定独立于其它的粒子的属性的确定；
粒子的属性的分布应满足物理所要求的理论分布；
所模拟的物理过程要求随机数应具有下列特性：
随机数序列应是独立的、互不相关的(uncorrelated)：
即序列中的任一子序列应与其它的子序列无关；
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
长的周期(long period)：
实际应用中，随机数都是用数学方法计算出来的，这些算法具有周期性，即当序列达到一定长度后会重复；
均匀分布的随机数应满足均匀性(Uniformity)：
随机数序列应是均匀的、无偏的，即：如果两个子区间的“面积”相等，则落于这两个子区间内的随机数的个数影相等。
例如：对[0,1)区间均匀分布的随机数，如果产生了足够多的随机数，而有一半的随机数落于区间[0,]不满足均匀性
如果均匀性不满足，则会出现序列中的多组随机数相关的情况均匀性与互不相关的特性是有联系的
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
有效性（Efficiency):
模拟结果可靠
模拟产生的样本容量大
所需的随机数的数量大
随机数的产生必须快速、有效，最好能够进行并行计算。
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
随机数的定义及产生方法
随机数的定义及性质
随机数表
物理方法
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
随机数的定义及性质
在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本的分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称，随机数序列，其中每一个体称为随机数。
单位均匀分布也称为［0，1］上的均匀分布，其分布密度函数为：
分布函数为 ：
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置，我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定义可知，ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随机数序列。也就是说，独立性、均匀性是随机数必备的两个特点。
随机数具有非常重要的性质：对于任意自然数s，由s个随机数组成的s维空间上的点（ξn+1，ξn+2，…ξn+s）在s维空间的单位立方体Gs上均匀分布，即对任意的ai，
下等式成立：
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
其中P(·)表示事件·发生的概率。反之，如果随机变量序列ξ1, ξ2…对于任意自然数s，由s个元素所组成的s维空间上的点（ξn+1，…ξn+s）在Gs上均匀分布，则它们是随机数序列。
由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位，它们虽然也属于由具有已知分布的总体中产生简单子样的问题，但就产生方法而言，却有着本质上的差别。
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蒙特卡罗方法在随机数中的应用
随机数表
为了产生随机数，可以使用随机数表。随机数表是由0，1，…，9十个数字组成，，数字之间相互独立。这些数字序列叫作随机数字序列。如果要得到n位有效数字的随机数，只需将表中每n个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的前边加上小数点即可。例如，某随机数表的第一行数字为7634258910…，，，。
因为随机数表需在计算机中占有很大内存，而且也难以满足蒙特卡罗方法对随机数需要量非常大的要求