层次分析法AHP.docx

层次分析法
一、层次分析法简介
美国运筹学家Sａatｙ于２0世纪70年代初提出了著名的层次分析法（Ａnａlyｔic Ｈierarcｈy　Pｒoceｓs简称ＡHＰ）。层次分析法是将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，、灵活、简洁的优点.
　 运用层次分析法建模来解决实际问题,可按如下五个步骤:
　 　步骤l　定义问题,确定目标
　 步骤2从最高层(目标层），通过中间层(准则层)到最低层（方案层）构成一个层次结构模型
　 　步骤3 两两比较打分，确定下层对上层的分数
　 准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。引用数字１—９及其倒数作为标度来定义判断矩阵A=(aij)n×n (见表1)。
表1　判断矩阵标度定义
标度含义
含义
l
表示两个因素相比，具有相同重要性
3
表示两个因素相比,前者比后者稍重要
5
表示两个因素相比，前者比后者明显重要
7
表示两个因素相比，前者比后者强烈重要
９
表示两个因素相比,前者比后者极端重要
2，４，6,8
表示上述相邻判断的中间值
倒数
若因素ｉ与因素j的重要性之比为aij,那么因素j与因素ｉ重要性之比为1aij
　　步骤４ 层次合成计算
　 步骤5 一致性检验
1)计算一致性指标ＣI(consｍｔency indｅx）
CI=λmax-nn-1
其中，λmax为判断矩阵的最大特征值。
２）查找一致性指标RI(见表２)
表2　平均随机一致性指标
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
１3
１4
RI
０
O
O．５2

１．12
1。２４
1．3６

1。46



1．56

3）计算一致性比例CR（consistency rａtiｏ)
CR=CIRI
当CR＜,认为通过了一次性检验，否则应作适当修正。
二、层次分析法权重向量Ｗ计算方法
层次分析法有四种计算方法求权重：算术平均法、几何平均法、特征向量法、最小二乘法。
1、算术平均法（求和法）
由于判断矩阵A中的每一列都近似地反映了权值的分配情形，故可采用全部列向量的算术平均值来估计权向量。即
Wi=1nj=1naijk=1nakj，i=1，2，…，n
计算步骤：
①A的元素按列归一化，即求 aijk=1nakj；
②将归一化后的各行相加；
③将相加后的向量除以n即得权重向量。
2、几何平均法(方根法）
Wi=(j=1naij)1ni=1n(j=1naij)1n，i=1，2，…，n
计算步骤：
①Ａ的元素按行相乘得一新向量；
②将新向量的每个分量开n次方；
③将所得向量归一化即为权重向量。
3、特征向量法
将权重向量W右乘权重比矩阵Ａ，有
AW=λmaxW
同上，λmax为判断矩阵的最大特征值,存在且唯一,，将求得的权重向量作归一化处理即为所求。
4、最小二乘法
用拟合方法确定权重向量，使残差平方和为最小．即求解如下模型：