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非平稳序列的随机分析
20世纪70年代，G. P. Box 和G. M. Jenkins发表了专著《时间序列分析：预测和控制》，对平稳时间序列数据，提出了自回归滑动平均模型ARIMA，以及一整套的建模、估计、检验和控制方法。使时间序列分析广泛地运用成为可能。为了纪念Box和Jenkins对时间序列发展的特殊贡献，现在人们也常把ARIMA模型称为Box-Jenkins模型。
当我们拟合一个时间序列时，先通过差分法或适当的变换使非平稳序列化成为平稳序列，我们再要考虑的是参数化和记忆特征的有效性，用这种参数方法拟合序列为某种特定的结构，只用很少量的参数，使参数的有效估计成为可能。相对于一个序列的过去值，可用传统的Box和Jenkins方法建模。
实际上，Box-Jenkins模型主要是运用于单变量、同方差场合的线性模型。随着对时间序列应用的深入研究，发现还存在着许多局限性。所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量、异方差和非线性场合的时间序列分析方法的研究，并取得突破性的进展，其中Engle和Granger一起获得2003年诺贝尔经济学奖。在异方差场合，Robert ，以及在ARCH模型上衍生出的一系列拓展模型。在多变量场合，70年代末，G. E. P. Box教授和刁锦寰教授在处理洛山矶的环境数据时，提出了干预分析和异常值检验方法。1987年，（co-integration）理论，在多变量时间序列建模过程中“变量是平稳的”不再是必须条件了，而只要求它们的某种组合是平稳的。非线性时间序列分析也有重大发展，汤家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造门限自回归模型。
ARIMA模型
随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）存在一些问题，它只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。而非平稳序列随机分析的发展就是为了弥补确定性因素分解方法的不足。对于时间序列数据分析无论是采用确定性时序分析方法，还是随机时序分析方法，分析的第一步都是要通过有效手段提取序列中所蕴藏的确定性信息。Box和Jenkins特别强调差分方法的使用，他们使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便有效的确定性信息的提取方法。而Gramer分解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。
ARIMA模型的结构
许多实际的序列，特别是从经济和商业领域产生的时间序列是非平稳的，由于受观察个数所限，我们建立有限阶数模型，描述时间序列过程。我们引进一种混和自回归和滑动平均(Autoregressive-integrated-moving average)ARIMA模型，简记为。这种模型包括很广的一类有限参数的线性时间序列模型，非常有用地描述各种时间序列。ARIMA模型的形式如下：
()
式中：

为阶差分。
为平稳可逆模型的自回归系数多项式。
为平稳可逆模型的移动平滑系数多项式。
为零均值的白噪声序列。式()可以简记为：
()
由式()显而易见，ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合。这一关系表明，任何非平稳序列只要通过适当阶数的差分实现差分后平稳，就可以对差分后序列进行ARMA模型的拟合了。阶差分后的序列可以表示为：
()
式中，，即阶差分后序列等于原来序列的若干序列值的某种加权和。特别当模型中的参数、、取一些特殊值时，可以转换成一些常见模型，例如，当时，就是模型；当时，为模型；当时，为模型；当时，模型为，被称为随机游走模型，或称醉汉模型，是有效市场理论的核心，常应用于投机价格走势的模拟。
ARIMA模型的建模步骤
Box和Jenkins描述了建立ARIMA模型的三个阶段：识别阶段、估计阶段和预测阶段。。
识别阶段
使用identify语句来指定响应变量序列并且识别候选ARIMA模型。identify语句读入后面语句中用到的时间序列，一般先对序列进行非线性、差分和平稳性检验，可能对序列进行差分，然后计算自相关系数ACF、逆自相关系数IACF、偏自相关系数PACF和互相关系数。此阶段的输出通常会建议一个或多个可拟合的ARIMA模型。如果模型确定，还可以检验样本自相关系数SACF和样本偏自相关系数SPACF，以分出模型的类型。
估计阶段
使用estimate语句来指定ARIMA模型去拟合在前面identify语句中指定的响应变量，并且估计该模型的参数。estimate语句