概率论与数理统计教程茆诗松第3章.ppt

概率论与数理统计教程茆诗松第3章.ppt§ 多维随机变量及其联合分布
§ 边际分布与随机变量的独立性
§ 多维随机变量函数的分布
§ 多维随机变量的特征数
§ 条件分布与条件期望
第三章 多维随机变量及其分布
分布的可加性
若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.
二项分布的可加性
若 X  b(n1, p)，Y  b(n2, p)，
注意：若 Xi  b(1, p)，且独立，则
Z = X1 + X2 + …… + Xn  b(n, p).
且独立，
则 Z = X+ Y  b(n1+n2, p).
正态分布的可加性
若 X  N( )，Y  N( ) ，
注意： X Y 不服从 N( ).
且独立，
则 Z = X  Y  N( ).
X Y  N( ).
独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下)
独立正态变量的线性组合仍为正态变量
Xi ~ N(i, i2), i =1, 2, ... n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ..., an 不全为零, 则
2 分布的可加性
若 X  2( n1 )，Y  2( n2 ) ，
注意： (1) X Y 不服从 2 分布.
且独立，
则 Z = X + Y  2( n1+n2).
(2) 若 Xi  N(0, 1)，且独立，则
Z =
 2( n ).
数学期望与方差的运算性质
1. E(X+Y)=E(X)+E(Y)
2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y),
()
()
讨论 X+Y 的方差
1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2E[XE(X)][YE(Y)]
3. 当X与Y独立时，E[XE(X)][YE(Y)] = 0.
4. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) .
2. E[XE(X)][YE(Y)] = E(XY)  E(X)E(Y)
注意：以上命题反之不成立.
协方差
称
Cov(X, Y) = E[XE(X)][YE(Y)]
为 X 与 Y 的协方差.
协方差的性质
(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). ()
(1) Cov(X, Y) = E(XY)  E(X)E(Y). ()
(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. ()
(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . ()
(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y)  2 Cov(X, Y)
()
(5) Cov(X, a) = 0. ()
(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). ()