模糊数学在数据挖掘中的应用研究.doc

模糊数学在数据挖掘中的应用研究
（中国石油大学（华东）计算机与通信工程学院）
一、模糊数学基本概念
1. 模糊集（Fuzzy set）
定义1 设X是论域，称映射A：X→[0,1]为X上的模糊集合（Fuzzy set）简称F集，记为A。称A(x)为元素x相对于F集的隶属度。称A(·)为F集A的隶属函数。
（1）模糊集合的表示：，称为元素属于模糊集的隶属度；则模糊集可以表示为：，或，。
（2）模糊集合的运算：
，，
并集：，
交集：，
补集：，
包含：。
2. 幂集
定义2 称论域X上的F集的全体集合 为X上的F-幂集。
3. 模糊集的-截集
定义3 已知U上模糊子集对，则称
为模糊集的-截集；称为模糊集的-强截集；称为、的置信水平或阈值。
三角范数、反三角范数
定义4 称二元函数T：[0,1]*[0,1]à[0,1]为三角模或三角范数，简称T-范数，满足以下条件：若a，b，c，d∈[0,1]，有：
交换律：T(a，b)=T(b，a)
结合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))
单调性：a≤c，b≤d时，T(a，b) ≤T(c，d)
边界条件：T(a，1)=a，T(0，a)=0
定义5 称二元函数S：[0,1]*[0,1]à[0,1]为反三角范数，简称S-范数，满足以下条件：若a，b，c，d∈[0,1]，有：
交换律：S(a，b)=S(b，a)
结合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c))
单调性：a≤c，b≤d时，S(a，b)≤S(c，d)
边界条件：S(a，1)=1，S(0，a)=a
注：三角范数T与反三角范数S关于余运算c对偶
二、模糊数学的基本定理
1. 模糊截积
定义6 已知U上模糊子集，对，也是U上模糊集，其隶属函数为：；称为为与的模糊截积。
分解定理1 已知模糊子集，则。
推论1：对。
分解定理2 已知模糊子集，则。
推论2：对。
三、模糊关系
1. 模糊关系与模糊关系的合成
（1）模糊关系
定义7 从U到V 上的一个模糊关系：，表示具有的关系程度，。（满足01）称为U到V 上的一个模糊关系的模糊矩阵。
模糊关系性质：
∀x∈U，有μR(x, x) = 0，则R满足反自反性；
∀x,y∈U，x≠y，有μR(x, y)= μR(y, x)，则R具有对称性；
∀x,y∈U，有μR(x, y)=μR(y, x) = 0，则R具有反对称性；
∀(x,y),(x,z),(y,z)∈ U×V，有μR(x, z)≥∨(μR(x,y)∧μR(y, z))，则R满足传递性。
1）F相似关系：
设R是论域U×V上的模糊关系，若R满足自反性和对称性，称R为模糊相似关系。
2）F等价关系：
若R满足自反性、对称性和传递性，称R为模糊等价关系。
）F集的内积与外积
定义8 设论域为X，A,BF(X)，称为F集A与B的内积；称为F集A与B的外积。
）格贴近度
定义9 设论域为X，A,BF(X)，称(A·B) ()∧()为格贴近度。
2. 模糊等价矩阵及其矩阵
定义10 设方阵为以模糊矩阵，若满足=则称为模糊等价矩阵。
模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲像乙，乙像丙，则甲像丙”这样的关系。
设＝为一个模糊等价阵，01为一个给定的数，令 则称矩阵为的截阵。
例如，＝为一个模糊等价阵，<,则=；若取，则=。
四、模糊聚类分析
模糊划分的概念最早由Ruspini提出，利用这一概念人们提出了多种聚类方法，比较典型的有：基于相似性关系和模糊关系的方法(包括聚合法和分裂法)，基于模糊等价关系的传递闭包方法、基于模糊图论最大树方法，以及基于数据集的凸分解、动态规划和难以辨识关系等方法. 然而由于上述方法不适用于大数据量情况，难以满足实时性要求高的场合，因此其实际的应用不够广泛，故在该方面的研究也就逐步减少了. 实际中受到普遍欢迎的是基于目标函数的方法，该方法设计简单、解决问题的范围广，最终还可以转化为优化问题而借助经典数学的非线性规划理论求解，并易于计算机实现
. 因此，随着计算机的应用和发展，该类方法成为聚类研究的热点。
1. 模糊聚类分析的基本过程
（1）计算样本或变量间的相似系数，建立模糊相似矩阵；
（2）利用模糊运算对相似矩阵进行一系列的合成改造，生成模糊等价矩阵；（3）最后根据不同的截取水平λ对模糊等价矩阵进行截取分类。
2. 聚类分析的基本思想
用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度，并以此来实现分类．模糊聚类分析的实质则是根据研究对象本身的属性来构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系．模糊聚类分析是基于模糊等价关系