平面向量的数量积(一).ppt

平面向量的数量积
广西蒙山中学　　张文军
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平面向量的数量积（一）
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
位移S
O
A
问题情境
θ
F
F
θ
S
W=│F││S│COSθ
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平面向量的数量积（一）
平面向量的数量积
学****目标：
1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义
2、掌握平面向量数量积的性质
下面请同学们看课本并思考如下问题：
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平面向量的数量积（一）
看课本116—117页并思考如下问题：
1、向量的夹角是如何定义（规定）的？
2、向量的数量积如何定义，它与物理中力　　做功有什么联系？
3、向量的数量积是向量吗？向量在方向上　　的投影是向量吗？
4、平面向量的数量积有什么样的几何意义？
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平面向量的数量积（一）
1、向量的夹角 　　已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作　OA=a,OB=b,则 叫做向量a　与b的夹角
(1)中OA与OB的夹角为
（2）中OA与OB的夹角为
（3）中OA与OB的夹角为
（当 　时，a与b＿＿；当 　时，a与b＿＿；当 时，a与b＿＿，记作　　　）
（4）中OA与OB的夹角为
反向
同向
垂直
指出下列图中两向量的夹角
A
O
A
B
B
B
B
.
A
A
O
O
O
.
（2）
（4）
（3）
（1）
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平面向量的数量积（一）
思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？
向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。
（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
2、数量积的定义
　已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们　把数量　　　　　叫做向量a与b的数量积（或内积）　记作　　　即 并规定
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平面向量的数量积（一）
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
（1）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？
O
A
B
（2）
a
b
O
A
B
（3）
a
b
a
b
A
O
过b的终点B作OA＝a的垂线段　 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =│b│COSθ
投影是向量吗
投影是一个数值（实数），当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值。
时│b│COSθ＝＿＿　　　时│b│COSθ＝＿＿　　　时│b│COSθ＝＿＿
－│b│
│b│
0
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平面向量的数量积（一）
数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│COSθ的积
a•b的几何意义：
3、向量数量积的几何意义
a•b=│a││b│COSθ
a
b
θ
O
B
OB＝ │b│COSθ
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平面向量的数量积（一）
4、向量数量积的性质
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e•a=__________;a•e=_________
(2)a　b____a•b=0
(3)当a与b同向时，a•b=________
当a与b异向时，a•b=___________
a•a=________
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos　＝
______
│a│COSθ
│a│COSθ
│a││b│
-│a││b│
a•b=│a││b│COSθ
e•a=a•e
=│a│COSθ
性质4
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平面向量的数量积（一）
a•b=│a││b│COSθ
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （　　）
（2）若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0
( )
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0 （　　）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0 （　　）
（5）对任意向量a有 （　　）
（6）若a 0，且a•b= a•c ，