向量在代数解体题中的一点体会.docx

向量在代数解题中的应用
宜昌市十三中 马小平 刘姣蓉
教材中《平面向量》、 《空间向量》的知识在几何中的应用相当广泛。说起向量，学生就不由自主的想到其在立几中的应用，其实向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的 “双重身份” ，这就使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介， 利用向量这一工具可巧妙而简捷地处理多种题型。 向量法解题 , 可激发学生学****兴趣 , 拓宽学生的思维 , 培养学生的创新意识和能力。下面就介绍这方面的应用 。
一、在代数求值中的应用
例 1
设 a，b，c， x，y， z 均为实数，且 a 2
b2
c2
25 ， x 2
y2
z2
36 ，
ax
by cz 30 ，求 a
b
c 的值。
x
y
z
解：由题设条件，设 p =(6a,6b), q
(5x,5y) , 由 ( p q)2
2
2
p
q 得：
900(ax
by) 2
900(a2
b2 )( x 2
y 2 ) ，即 (30 cz) 2
(25
c2 )(36 z 2 ) ，
变形整理得： (5z 6c) 2
0
5z 6c 。同理 , 5x
6a,5 y
6b 。
所以 a
b
c =
5
x
y
z
6
二、在解方程中的应用
例 2． 解方程
x
4
3
2
3
x
4
x
2
4
x
解：设 a
(x,
4 - x2 ), b
(
4 - 3x2 , 3x)
由于 a b
x
4 - 3x2
3x
4
x 2
4 ，
a b
x2
(
4
x2 )2
(
4
3x2 )2
( 3x) 2
4 ，
得 a b
a
b
a
b(
0)
即有
x
4
3x2
①
4 x2 3x
代入原方程有 ( 4 3
x
2
) 2
( 3 ) 2
4
1 ，
x
1代入方程组①可求得原方程的唯一一个根为： x=1
三、在证明恒等式中的应用
例 3 已知 a、b R ，且 a 1 b2 b 1 a 2 1 ，求证： a 2 b 2 1 。
分析：题设与结论都与 1 有关，由题设联想到向量
证明：构造向量 p (a, 1 a 2 ), q ( 1 b 2 ,b) ，
因为 p 1, q 1 ，所以 p q 1
又由条件知， p q
a 1 b2
b 1 a 2
1，
所以 p q p q
p q ，即 a
1 b2 ,b1 a 2 ,
所以 a