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案例1 辗转相除法与更相减损术
求两个正整数的最大公约数
（1）求49和63的最大公约数
（2）求18和30的最大公约数
问题：求8251和6105的最大公约数
7
6
“辗转相除法”
——又名“欧几里得算法”，是已知的求最大公约数的最古老的算法，可追溯到3000年。最早出现于欧几里得的《几何原本》，而在中国可以追溯到东汉出现的《九章算术》。
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146
问题：求8251和6105的最大公约数
被除数
除数
余数
商
分析：6105和2146的公约数就是8215和6105的公约数，
除数和余数的公约数就是被除数和除数的公约数。
因此，求8251和6105的最大公约数，只需求出6105和2146的公约数即可。
第二步 对6105和2146重复上述做法
6105=2146×2+1813
第三步 对2146和1813重复上述做法
2146=1813×1+333
第四步 1813=333×5+148
第五步 333=148×2+37
第六步 148=37×4
除数和余数的公约数就是被除数和除数的公约数
显然，37是148和37的最大公约数，
所以，8251和6105的最大公约数是37.
第一步8251=6105×1+2146
辗转相除法（欧几里得算法）
最大公约数：余数为0的除数
+0
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例1：用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
所以，45是225和135的最大公约数.
第一步：用大数除以小数
第二步：除数变成被除数，余数变成除数
第三步：重复上述步骤，直到余数为0
问题：求8251和6105的最大公约数
所以，37是8215和6105的最大公约数.
计算规律？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
a =b× q ＋ r
用程序框图表示出例1的过程
r=a MOD b
a = b
b = r
r=0?
是
否
思考：辗转相除法用哪种逻辑结构书写？
（1）算法步骤
第一步：输入两个正整数a,b(a>b);
第二步：把a/b的余数赋给r;
第三步：如果r 0, 那么把b赋给a,把r赋给b,转 到第二步;否则转到第四步；
第四步：输出最大公约数b.
a = b× q ＋ r
（2）程序框图
（3）程序
INPUT “a,b=“;a,b
DO
r=a MOD b
a=b
b=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT a
END
开始
输入a,b
r=a MOD b
a=b
r=0?
是
否
b=r
输出a
结束
更相减损术 ——《九章算术》
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译如下： 　　
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 　
第二步：用较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，再用大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。 　
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。