(完整word版)几何模型：一线三等角模型.docx

(完整word版)几何模型：一线三等角模型.docx一线三等角模型
一 . 一线三等角概念
“一线三等角” 是一个常见的相似模型， 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角， 也可以是锐角或钝角。 不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类
全等篇
C D
D C
A P B A P B
锐角 直角
D
D

D
C
A
P
B
同侧
钝角
D
A A
B P P
B

A
B

P
C C
相似篇

C
异侧
D
C
D
C
A
P
BAP
B
锐角
直角
D

D
C
A
P
B
同侧
钝角
D
D
A
B P
A
B P

A
B

P
C C

C
异侧
三、“一线三等角”的性质
一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC∽△ BDE.
2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 . 如图 3-1 ，若 CE=ED，则△ AEC≌△ BDE.
中点型“一线三等角”
如图 3-2
，当∠ 1=∠2=∠3，且
D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE.
4. “中点型一线三等角“的变式
( 了解 )
如图 3-3
，当∠ 1=∠2 且 BOC 90
1
BAC 时，点 O 是△ ABC 的内心 . 可以考虑构
2
造“一线三等角”.
如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，
BOC
90
1
BAC 这是内心的性质，反之未必是内心 .
2
在图 3-4
（右图）中，如果延长
BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 .
“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明 ）
图 3-5
其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
“一线三等角”应用的三种情况 .
图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；
c. 图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题 .
体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角
或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题 .
在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段 .
构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似
坐标系中，要讲究“线”的特殊性
如图 3-6 ，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C 、D两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需
要。
上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握 .
解题示范
例 1 如图所示，一次函数
一个动点（不包括 A 、B