课标版 理数
§ 导数与积分
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(1)导数:如果当Δx→0时, 有极限,就说函数y=f(x)在x=x0处可导,并把这
个极限叫做f(x)在x=x0处的导数(或瞬时变化率).记作f '(x0)或y' ,即f '(x0)
知识梳理
= = .
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(2)导函数:如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,那么,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f '(x).于是,在区间(a,b)内, f '(x)构成一个新的函数,叫做f(x)在开区间(a,b) '(x)或y'.
注意:如果函数f(x)在x=x0处可导,那么函数y=f(x)在x=x0处连续.
(1)几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的① 斜率 ;
(2)物理意义:若物体的运动路程与时间的关系是s=s(t),则s=s(t)在t=t0处的
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导数就是物体在t=t0时刻的② 瞬时速度 .
原函数
导数
y=C(C为常数)
y'=0
y=xn(n∈Q*)
y'=nxn-1
y=sin x
y'=cos x
y=cos x
y'=-sin x
y=ex
y'=ex
y=ln x
y'=
y=ax(a>0,且a≠1)
y'=axln a
y=logax(a>0,且a≠1)
y'=
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(1)导数的运算法则:
(u±v)'=u'±v';(uv)'=③ u'v+uv' ; '=④ (v≠0).
(2)复合函数的求导法则:y=f[u(x)]的导数为yx'=yu'·ux'.
(1)概念:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式
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这里a
和b分别叫做积分下限和积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做被积式.
(2)性质
a. kf(x)dx=k f(x)dx(k为常数);
b. [f1(x)±f2(x)]dx= f1(x)dx± f2(x)dx;
c. f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(a<c<b).
(3)微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么 f(x)dx=F
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(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式,为了方便,常常把F(b)-F(a)记作F(x) ,即 f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).
(4)常见求定积分的公式
a. xndx= xn+1 (n≠-1);
b. Cdx=Cx (C为常数);
c. sin xdx=-cos x ;
d. cos xdx=sin x ;
e. dx=ln x ;
f. exdx=ex .
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(x)= cos x,则f(π)+f ' = ( )
A.- B. C.- D.-
答案 D 因为f(x)= cos x,所以f '(x)=- cos x- ·sin x,所以f ' =- ,
又f(π)=- ,所以f(π)+f ' =- ,选D.
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=3ln x+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是 (
)
A.(0,1) B.(1,-1)
C.(1,3) D.(1,0)
答案 C 由题意知y'= +1,令y'=4,解得x=1,此时4×1-y-1=0,解得y=3,∴
点P0的坐标是(1,3).
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=sin x(0≤x≤π)与x轴所围成图形的面积为 ( )
C.
答案 B 根据积分的应用可知所求面积为 ,选
B.
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