课标版 理数
§ 导数的应用
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设函数y=f(x)在某个区间内可导,若① f '(x)>0 ,则f(x)为增函数;
若② f'(x)<0 ,则f(x)为减函数.
知识梳理
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(1)设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有③ f(x)<f(x0) ,则f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点,都有④ f(x)>f(x0) ,则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.
(2)当函数f(x)在x0处连续时,判断f(x0)是极大(小)值的方法:
<x0时f '(x)>0,x>x0时f '(x)<0,则 f(x0)是极大值;
<x0时f '(x)<0,x>x0时f '(x)>0,则 f(x0)是极小值.
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求f(x)在(a,b)内的极值,将f(x)的
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各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
.
(x).
(x)求导.
'(x)判断h(x)的单调性或最值.
.
令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f '(x)=3ax2+2bx+c.
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方程f '(x)=0的判别式Δ=(2b)2-12ac,
(1)当Δ≤0,即b2≤3ac时, f '(x)≥0恒成立, f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程f(x)=0有唯一一个实根.
(2)当Δ>0,即b2>3ac时,方程f '(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1<x2),函数在x1处取得极大值M,在x2处取得极小值m(M>m).
①当m>0时,方程f(x)=0有唯一一个实根;
②当m=0时,方程f(x)=0有两个实根;
③当m<0,M>0时,方程f(x)=0有三个实根;
④当M=0时,方程f(x)=0有两个实根;
⑤当M<0时,方程f(x)=0有一个实根.
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、用料最省、效率最高等问题我们称之为优化问,用导数解决优化问题的基本思路是:(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f '(x),解方程f '(x)=0,确定极值点;(3)比较函数在区间端点的值和在极值点的值的大小,最大(小)值为函数的最大(小)值;(4)还原到原实际问题中作答.
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(x)的定义域为R,导函数 f '(x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )
、有四个极小值点
、一个极小值点
、两个极小值点
、无极小值点
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答案 C 设f '(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.
当x<x1时, f '(x)>0, f(x)为增函数,
当x1<x<x2时, f '(x)<0, f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.
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=xex的最小值是 ( )
A.-1 B.-e C.-
答案 C ∵y=xex,∴y'=ex+xex=(1+x)>-1时,y'>0,当x<-1时,y'<0,∴x
=-1时函数取得最小值且ymin=- .故选C.
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(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则 的值为 ( )
A.- B.-2
C.-2或-
答案 C ∵f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,∴f '(x)=3x2+2ax+b,∴由题意知f '(1)=3+
2a+b=0,∴b=-3-2a①,又f(1)=1+a+b-a2-7a=10②,∴将①代入②整理得a2+8a+12=0,解得a=-2或a=-=-2时,b=1;当a=-6时,b=9.∴ =-2或 =- ,故选C.
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