课标版 理数
§ 几何证明选讲
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(1)平行线等分线段定理及其推论
(i)定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段① 相等 ,那么在其
知识梳理
他直线上截得的线段也② 相等 .
(ii)推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
(iii)推论2:经过梯形一腰的③ 中点 ,且与底边④ 平行 的直线平分另一腰.
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(2)平行线分线段成比例定理及其推论
(i)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段⑤ 成比例 .
(ii)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段⑥ 成比例 .
(1)相似三角形的判定
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(i)判定定理
a.⑦ 两角 对应相等的两个三角形相似.
⑧ 相等 的两个三角形相似.
⑨ 对应成比例 的两个三角形相似.
(ii)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与⑩ 原三角形 相似.
(iii)直角三角形相似的特殊判定
斜边与一条 直角边 对应成比例的两个直角三角形相似.
(2)相似三角形的性质
相似三角形的对应线段的比等于 相似比 ,面积比等于 相似比
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的平方 .
(3)直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上 射影 的 比例中
项 ;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项 .
(1)圆周角:顶点在 圆周上 且两边都与圆相交的角.
(2)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一
半 .
(3)圆周角定理的推论
(i)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧
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也 相等 .
(ii)半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90°的圆周角所对的弦是
直径 .
(1)直线与圆的位置关系
直线与圆交点的个数
直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系
相交
两个
d < r
相切
一个
d = r
相离
无
d > r
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(2)切线的性质及判定定理
(i)切线的性质定理:圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径.
(ii)切线的判定定理:
经过半径的 外端 并且 垂直 于这条半径的 直线 是圆
的切线.
(3)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 相等 ,
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
(1)弦切角:顶点在 圆 上,一边与圆 相切 、另一边与圆相交
的角.
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(2)弦切角定理及推论
(i)定理:弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 .
(ii)推论:同弧或等弧所对的弦切角 相等 ,同弧或等弧所对的弦切
角与圆周角 相等 .
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定理名称
基本图形
条件
结论
应用
相交弦定理
弦AB、CD相交于圆内点P
(1)PA·PB=
PC·PD ;
(2)△ACP∽
△DBP
(1)在PA、PB、PC、PD四条线段中,知三可求一;(2)求弦长及角
切割线定理
PA切☉O于A,PBC是☉O的割线
(1)PA2=
PB·PC ;
(2)△PAB∽△PCA
(1)在PA、PB、PC中,知二可求一;(2)求AB、AC
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割线定理
PAB、PCD是☉O的割线
(1)PA·PB=
PC·PD ;
(2)△PAC∽△PDB
(1)在PA、PB、PC、PD中,知三可求一;(2)应用相似求AC、BD
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