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2021年线性代数练习册第四章习题及答案.docx

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线性代数练****册第四章****题及答案

　　篇一：线代第四章****题解答
　　第四章空间和向量运算　　4-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标以下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C2,2,1? 1 求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形； 2 求点A和B之间的距离．
　　解：(1)(1,3,0),(?5,0,0),(4,?3,0)
　　(2)
　　AB?
　　4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置：A?3,4,0?;B?0,4,3?；C?3,0,0?；D?0,?1,0?解：A(3，4，0)在xoy面上B 0，4，3 点在yoz面上
　　C 3，0，0 在x轴上D 0，－1，0 在y轴上4-1-?a?b?2c,v3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．
　　解：3u－2v＝3 a－b＋2c －2 －3b－c ＝3a＋3b＋8c
　　4-1-：假如平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：
　　设四边形ABCD中AC和DB交于o，由已知Ao＝oC，Do＝oB因为AB＝Ao＋oB＝oC＋Do＝DC,AD=Ao+oD=oC+Bo=BC因此ABCD为平行四边形。
　　4-1-，它和轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．
　　解：.
　　p
　　rju
　　u)?4*cos60＝4?r?rcos(r
　　3
　　＝232
　　4-1-?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为
　　x,y,z
　　p
　　rjx
　　AB?(2?x0)?4
　　p
　　rjy
　　AB?(?1?
　　y)4p
　　rjz
　　AB?(7?z0)?7
　　解得：
　　x
　　2y?3z0?0
　　4-1-，并求和这些向量同方向的单位向量：
　　1 a2,?1,1?； 2 b4,?2,2?； 3 c6,?3,3?； 4 d?2,1,?1?．解： 1 a＝ 2，－1，1 a?
　　2
　　2
　　(?1)?1
　　2
　　2
　　cos
　　22
　　a36
　　cos
　　1?26
　　cosa6a6
　　2 b=(4,-2,2)b?
　　4
　　2
　　(?2)?2cos
　　2
　　2
　　26
　　b3
　　cos
　　26?2?b666
　　cosb0?,?,b6b6b366
　　3 c=(6,-3,3)c?
　　b
　　2
　　(?4)?3cos
　　2
　　2
　　236
　　3
　　cos
　　33?
　　6
　　cos
　　2
　　336
　　2
　　66
　　2
　　4 d=(-2,1,-1)d?
　　(?2)?1?(?1)?6
　　cos
　　2
　　6
　　3
　　cos
　　16
　　d6
　　cos?d0{?,,?
　　66d366
　　和前三向量单位同的d{?
　　6,,?。366
　　4-1-：
　　1 cos0； 2 cos1； 3 coscos0指出这些向量和直角坐标系的坐标轴或坐标平面的关系．
　　解：
　　(1)cos0(2)cos1
　　表明向量和x轴垂直；表明向量和y轴平行；
　　(3)coscos0
　　量的方向余弦．解：
　　表明向量既和x轴垂直又和y轴垂直，即垂直于xoy面。
　　4-1-，而和z轴的夹角是和x轴夹角的两倍，求这向
　　设向量的方向余弦为cos?.cos?.cos?。由已知?2?，又?cos2cos2cos21
　　1
　　2
　　即cos2cos2cos221?2cos2(2cos21)2?1?cos0或cos?111
　　方向余弦为{0，0，?1},{?,?,?}。
　　222　　4-2-
　　3
　　,a?3,b?4，求下列各值：
　　1 a?b； 2 b?b； 3 ?a?b?a?b?； 4 (a?2b)?(3a?b)； 5 ?a?ab?b?.
　　解：(1)a?b?abcos3?4?cos
　　3(2)b?b?bbcos4?4?1?16；
　　2
　　2
　　6；
　　(3)(a?b)?(a-b)?a?b?9?167；
　　(4)(a-2b)?(3a?b)?3a2?5ab?2b

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