7.6-线性变换的值域与核.ppt

§2 线性变换的运算
§3 线性变换的矩阵
§4 特征值与特征向量
§1 线性变换的定义
§6 线性变换的值域与核
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式
§7不变子空间
小结与****题
第七章 线性变换
§5 对角矩阵
一、值域与核的概念
二、值域与核的有关性质
§ 线性变换的值域与核
一、值域与核的概念
定义1：设 是线性空间V的一个线性变换，
集合
称为线性变换　的值域，也记作　　　或
集合
称为线性变换　的核，也记作
注：　 皆为V的子空间.
事实上， 　 且对
有
即 对于V的加法与数量乘法封闭.
为V的子空间.
再看
首先，
又对　 有 从而
即
故 为V的子空间.
对于V的加法与数量乘法封闭.
定义2：线性变换　的值域 　　的维数称为　的秩；
的核 的维数称为 的零度.
例1、在线性空间 中，令
则
所以D的秩为n－1，D的零度为1.
1. (定理10) 设　是n 维线性空间V的线性变换，
是V的一组基，　在这组基下的矩阵是A，
则
1） 的值域 是由基像组生成的子空间，即
2） 的秩＝A的秩.
二、有关性质
即
又对
证：1）　 设
于是
有
因此，
的秩，又
∴　秩 ＝秩
等于矩阵A的秩.
2）由1）， 的秩等于基像组
由第六章§5的结论3知， 　　 的秩
2. 设　为n 维线性空间V的线性变换，则
的秩＋　的零度＝n
即
证明：设 的零度等于r ，在核 中取一组基
并把它扩充为V的一组基：
生成的.
由定理10， 　　是由基象组