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一道中考压轴题的解题分析
贵州省纳雍县第一中学 黄 明
题目：如图所示，已知两点A(-1,0)、B(4,0).以AB为直径的半圆P交y轴于点C.
求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
设弦AC的垂直平分线交OC于D,连结AD并延长交半圆P于点E, AC与CE相等吗?请证明你的结论；
设点M为x轴负半轴上一点,OM=AE, 是否存在过点M的直线,使该直线与(1)中的抛物线的两个交点到y轴的距离相等?若存在,求出这条直线对应函数的解析式；若不存在,请说明理由.(2008年贵州省毕节地区中考数学压轴题第27题，16分)
第(1)小题的解题分析
求过A、B、C三点的抛物线的解析式，
总体有2种方法：① 一般式：y=ax2+bx+c；
② 交点式：y=a (x-x1) (x-x2) (其中x1、x2是抛
物线与x轴的交点的横坐标),无论选择哪一种，
?
易求出⊙P的半径r=，圆心P(，0).
设C(0，yC)(yC>0)，连结PC、:
分析1 利用勾股定理(勾股定理,人人皆知!).在Rt△OPC中,OC==2,
∴C(0，2).用一般式，则有,解之,,
∴所求抛物线的解析式为y=–x2+x+2.
用交点式，则有a (0+1) (0–4)==–.
∴所求抛物线的解析式为y= –(x+1)(x–4)= –x2+x+2.
分析 2 △ABC中，OC2=OA·OB =4，∴OC =2. 即C(0，2).以下同分析1.
分析 3 运用两点间的距离公式.∣PC|=，求出yC=2，以下同分析1.
分析4 △AOC、Rt△BOC、Rt△ABC中,
AB2=AC2 +BC2，AC2=OA2+OC2，BC2 =OB2+OC2，AB=5，OA=1， OB= =2，
即C(0，2)， 以下同分析1.
分析5 从更高一点的层次入手,设半圆P的方程为
(x)2+y2=(y≥0) (※)
代入C(0， yC),求出C(0，2)，以下同分析1.
小结: 笔者认为,利用射影定理及交点式求此抛物线的解析式是最佳方法.
第(2)小题的解题分析
直觉与猜想：AC=CE，再分析证之.
分析 1 ， ∵ PD是AC的垂直平分线,易证△PDA≌△PDC，∴ ∠PDA=∠PDC，又 ∠ODA=∠HDC，∴ ∠PDO=∠PDH，∴ ∠POD=∠PHD，∴ PC⊥AE，又PA=PE.∴ PC垂直平分AE，∴ AC=CE.
分析 2 在同圆或等圆中，△ABC中，CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABC，又DA=DC，∴ ∠DAC=∠DCA，∴ ∠EAC=∠ABC. ∴ AC=CE.
分析 3 在同圆或等圆中，，则∠ABC=∠AEC=∠EAC，∴ AC=CE，
∴ AC=CE
分析 4 从更高一点的层次入手-----(xE , yE)，D(0,yD) (0<yD<2).∵ DA=DC，∴ 1+=(2–yD)2，