一元二次不等式及其解法(知识讲解与典型例题)
课标要求分析:ﻫ 、函数的联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学****中,应注重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式,首先可求出相应方程的根,然后根据相应函数的图象求出不等式的解;也可以运用代数的方法求解。:ﻫ 1.掌握一元二次不等式的基本解法;ﻫ 2.了解一元二次不等式与相应函数,方程的联系,体会数形结合的数学思想;
3.初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法;
,建立不等式模型,求解不等式。ﻫ本周学****重难点:
一元二次不等式的基本解法及与相应函数、:ﻫ1.一元一次不等式的解法回顾ﻫ 。一元二次不等式的解法ﻫ 一元二次不等式的一般形式:ﻫ
由一元二次不等式的一般形式,即可发现其与二次函数和二次方程的联系,
进而可以利用函数图象得到不等式的解集。ﻫ 设,两根为,。
结合图象按判别式分类归纳下表:
解集判别式
R
注意:
(1)的情形要转化为的情形;
(2),解集的变化。
关于含参讨论注意:ﻫ (1)对二次项系数讨论:定不等式类型、定图象(开口方向)类型;
(2)对根的讨论:判别式(根的个数,交点个数)、根的分布(根的大小);
(3)对解集的讨论:画函数图象草图,根据图象定解集。ﻫ (4)(分式)不等式的解法ﻫ 简单高次不等式的解法:穿线法。
注意:系数化正,右上往左下,奇穿偶不穿。单独考虑孤立点.
(回顾变号零点存在定理,穿线法的原理还是一个数形结合的思想。)ﻫ 分式不等式:分式化整式。
一边化0,改写成乘积式,注意分母不等于0的限制。特别小心“≥,≤”。无理及指对不等式的解法ﻫ 无理不等式:转化思想,等价不等式(组)或数形结合
或,
,
。
5.绝对值不等式的解法ﻫ 含一个绝对值:ﻫ 或ﻫ 含两个或以上绝对值: 也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解.
本周典型例题:
:
(1)
(2)
分析:注意对字母系数的讨论,分清谁是参数。提醒数形结合与数轴的运用。ﻫ 解析:(1)不等式可整理为ﻫ 当,即或时,不等式解集为;
当,即或时,若,解集为R;若,解集为;
当,即时,不等式解集为.
(2)不等式可整理为
当,即或时,不等式解集为
当,即或时,若,解集为R;若,解集为;ﻫ 若,即时,解集为。
2.解下列一元二次不等式:ﻫ (1); (2);ﻫ (3); (4)。
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